Zahlentheorie/Spektrum/Ringhomomorphismus/Einführung/Textabschnitt

Wir untersuchen, wie sich das Spektrum eines kommutativen Ringes unter einem Ringhomomorphismus verhält.

Proposition

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Zuordnung

   $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}):=\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}}),$

   ist (wohldefiniert und) stetig.

2. Es ist ${}(\varphi ^{*})^{-1}(D({\mathfrak {a}}))=D({\mathfrak {a}}S)$ für jedes Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$.
3. Für einen weiteren Ringhomomorphismus

   $\psi \colon S\longrightarrow T$

   gilt ${}(\psi \circ \varphi )^{*}=\varphi ^{*}\circ \psi ^{*}$.

Beweis

Die Abbildung ist nach Aufgabe wohldefiniert. Zur Stetigkeit ist die Aussage (2) zu zeigen. Wir argumentieren mit den abgeschlossenen Mengen. Für ein Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ ist ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})\in V({\mathfrak {a}})$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \varphi ^{-1}({\mathfrak {q}})$ ist. Dies ist äquivalent zu ${}\varphi ({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathfrak {q}}$ und ebenso zu ${}{\mathfrak {a}}S\subseteq {\mathfrak {q}}$. (3) ist klar.

$\Box$

Die in der vorstehenden Aussage eingeführte stetige Abbildung heißt Spektrumsabbildung (zu dem gegebenen Ringhomomorphismus). Bei einem Unterring

${}R\subseteq S\,$

geht es einfach um die Zuordnung ${}{\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\cap R$. In diesem Fall spricht man auch von „Runterschneiden“.

Beispiel

Sieht aus wie die Wurzel, soll aber die Quadrierung sein. Die Quadratabbildung sieht man, wenn man ausgehend von der hier vertikalen x-Achse horizontal auf den Graphen geht und dann nach unten projiziert. Diese Sichtweise betont, wie die Fasern zu variierendem ${}b$ aussieht.

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}P\in K[X]$ ein Polynom in einer Variablen. Wir betrachten den zugehörigen Ringhomomorphismus

$K[Y]\longrightarrow K[X],\,Y\longmapsto P.$

Das Urbild zu einem linearen Primideal ${}(X-a)\in K[X]$ ist das Primideal ${}(Y-P(a))\in K[Y]$. Dies sieht man am einfachsten, wenn man die Hintereinanderschaltung

$K[Y]\longrightarrow K[X]{\stackrel {{\text{Ev}}_{a}}{\longrightarrow }}K$

betrachtet, die die Evaluation an ${}P(a)$ ist, und die Kerne beachtet. Deshalb liegt das kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}K&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}&\\\!\!\!\!\!P\downarrow &&\downarrow &\\K&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Spek} {\left(K[Y]\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei in den Horizontalen die Zuordnungen ${}a\mapsto (X-a)$ bzw. ${}b\mapsto (Y-b)$ stehen und rechts die Spektrumsabbildung steht. Die Spektrumsabbildung ist also eine natürliche Erweiterung der durch das Polynom ${}P$ direkt definierten Abbildung von ${}K$ nach ${}K$, die zusätzlich noch alle Primideale berücksichtigt.

Im zahlentheoretischen Kontext betrachtet man meist eine Ringerweiterung ${}\mathbb {Z} \subseteq R$, ein Primideal aus ${}R$ wird dabei unter der Spektrumsabbildung entweder auf das Nullideal ${}(0)$ abgebildet oder aber auf ein Primhauptideal ${}(p)$ zu einer Primzahl ${}p$. Diese Abbildung kann man auf zwei Arten versuchen zu verstehen, erstens, indem man die Primideale von ${}R$ versucht zu verstehen und dann zu bestimmen, wohin diese abgebildet werden, oder aber zweitens, und dies ist im zahlentheoretischen Kontext produktiver, dadurch, dass man versucht zu verstehen, welche Primideale oberhalb von ${}(p)$ liegen. Diese Frage hängt unmittelbar mit der Frage zusammen, was mit der Primzahl ${}p$ in der Ringerweiterung ${}R$ geschieht, ob es eine Primzahl bleibt oder ob und wie es zerfällt. Die Faser über ${}(p)$ ist direkt (siehe unten) die Menge der Primideale des Restklassenringes ${}R/(p)$, und dies ist bei einer ganzen Erweiterung ein endlicher Ring.

Beispiel

Zur Erweiterung ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ stellt man sich die Spekrumsabbildung ${}\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ so vor, dass man zu einer Primzahl ${}p\in \mathbb {Z}$ versucht zu verstehen, welche Primideale in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Zahl ${}p$ enthalten. Dabei entsteht das Bild rechts.

Proposition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ und der Restklassenabbildung

   $q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}$

   ist die Spektrumsabbildung

   $q^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

   eine abgeschlossene Einbettung, deren Bild ${}V({\mathfrak {a}})$ ist.

2. Zu einem multiplikativen System ${}M\subseteq R$ ist die zur kanonischen Abbildung

   $\iota \colon R\longrightarrow R_{M}$

   gehörige Abbildung

   $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R_{M}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

   injektiv, und das Bild besteht aus der Menge der Primideale von ${}R$, die zu ${}M$ disjunkt sind.

3. Zu ${}f\in R$ ist die zur kanonischen Abbildung

   $\iota \colon R\longrightarrow R_{f}$

   gehörige Abbildung

   $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

   eine offene Einbettung, deren Bild gleich ${}D(f)$ ist.

Beweis

(1) folgt aus Aufgabe: Die Primideale in ${}R/{\mathfrak {a}}$ entsprechen über ${}{\mathfrak {p}}\mapsto q^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {p}}+{\mathfrak {a}}$ den Primidealen von ${}R$, die ${}{\mathfrak {a}}$ enthalten. Die angegebene Abbildung ist also bijektiv und hat das beschriebene Bild. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {b}}\subseteq R/{\mathfrak {a}}$ und einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\subseteq R/{\mathfrak {a}}$ ist genau dann ${}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$, wenn

${}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}=q^{-1}({\mathfrak {b}})\subseteq {\mathfrak {p}}+{\mathfrak {a}}\,$

gilt. Also ist das Bild von ${}V({\mathfrak {b}})$ gleich ${}V({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})$ und damit abgeschlossen.
Für (2) siehe Aufgabe.
(3). Da für ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ und ein Element ${}f\in R$ die Beziehung ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ genau dann gilt, wenn ${}{\mathfrak {p}}$ zum multiplikativen System ${}{\left\{f^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ disjunkt ist, folgt aus Teil (2), dass die Abbildung injektiv ist und dass ihr Bild gleich ${}D(f)$ ist. Das gleiche Argument, angewendet auf ${}g\in R$ bzw. ${}{\frac {g}{1}}\in R_{f}$ zeigt, dass das Bild von ${}D(g)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}$ gleich ${}D(fg)$ und damit offen ist.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen und es sei

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist die Faser über einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ gleich ${}\operatorname {Spek} {\left((S/{\mathfrak {q}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})}\right)}$.

D.h. die Faser besteht aus allen Primidealen ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ mit ${}{\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ und mit ${}{\mathfrak {p}}\cap \varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})=\emptyset$.

Beweis

Aufgrund von Fakt müssen wir nur die zweite Formulierung beweisen. Für ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\subseteq S$ gilt ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ genau dann, wenn sowohl ${}\varphi ({\mathfrak {q}})\subseteq {\mathfrak {p}}$ als auch ${}\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\subseteq S\setminus {\mathfrak {p}}$ gilt. Die erste Bedingung ist zu ${}{\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ und die zweite Bedingung ist zu

${}\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\cap {\mathfrak {p}}=\emptyset \,$

äquivalent.

$\Box$

Insbesondere ist die Faser eines Spektrumsmorphismus über einem Punkt selbst wieder das Spektrum eines Ringes. Ein Spezialfall der vorstehenden Aussage ist, dass die Faser über einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ gleich ${}\operatorname {Spek} {\left(S/{\mathfrak {m}}S\right)}$ ist, da in diesem Fall aus ${}{\mathfrak {m}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ sofort ${}{\mathfrak {m}}\subseteq \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ folgt und wegen der Maximalität Gleichheit gelten muss. Bei einem Integritätsbereich ${}R$ und dem Nullideal erübrigt es sich, das Erweiterungsideal zu betrachten, die Faser wird einfach durch ${}\operatorname {Spek} {\left(S_{\varphi (R\setminus \{0\})}\right)}$ beschrieben.

Definition

Zu einem Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen kommutativen Ringen und einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ nennt man ${}(S/{\mathfrak {q}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})}$ den Faserring über ${}{\mathfrak {q}}$.

Die Aussage Fakt bedeutet also, dass die Faser der Spektrumsabbildung über ${}{\mathfrak {q}}$ gleich dem Spektrum des Faserringes ist. Der Faserring beinhaltet dabei eine genauere algebraische Information, aus der die topologische und mengentheoretische Information ablesbar ist. Wenn ${}{\mathfrak {q}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ ist, so braucht man die Nenneraufnahme nicht, der Faserring ist dann einfach gleich ${}S/{\mathfrak {q}}S$. Den Faserring kann man allgemein auch als ${}S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {q}})$ realisieren.

Bemerkung  

Wenn ein Ringhomomorphismus in der Form

$R\longrightarrow R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{s})$

vorliegt, so wird der Faserring über einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ durch

${\left(R/{\mathfrak {q}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/({\overline {F}}_{1},\ldots ,{\overline {F}}_{s})\right)}_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})}$

beschrieben, wobei ${}{\overline {F}}_{j}$ die Reduktion von ${}F_{j}$ modulo ${}{\mathfrak {q}}$ bezeichnet. Dies bedeutet einfach, dass man die Koeffizienten der Polynome modulo ${}{\mathfrak {q}}$ interpretiert.

Bei ${}R=\mathbb {Z}$ und ${}S=\mathbb {Z} [X]/(F)$ und einem maximalen Ideal ${}(p)$ zu einer Primzahl ${}p$ ist der Faserring einfach ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/({\overline {F}})$. Dies ist also eine Algebra über dem endlichen Körper ${}\mathbb {Z} /(p)$. Wenn ${}F$ ein normiertes Polynom vom Grad ${}d$ ist, so ist diese Algebra endlich mit ${}p^{d}$ Elementen, die man allein schon wegen der Endlichkeit explizit beschreiben kann. Wenn ${}F$ über ${}\mathbb {Z}$ irreduzibel ist, so muss aber ${}{\overline {F}}$ nicht unbedingt irreduzibel sein. In der Tat ist es so, dass ${}p$ genau dann ein Primelement in ${}S$ bleibt, wenn ${}{\overline {F}}$ irreduzibel in ${}(\mathbb {Z} /(p))[X]$ ist. Genau in diesem Fall ist der Faserring ein Körper.