Abelsche Kategorien/Linksexakter Funktor/Derivierte Funktoren/Einführung/Textabschnitt
Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei
ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Der -te rechtsabgeleitete Funktor
() ist folgendermaßen definiert: Für ein Objekt nimmt man eine injektive Auflösung von und setzt
und für einen Homomorphismus in nimmt man eine Fortsetzung (wobei eine injektive Auflösung von ist) und setzt
mit dem induzierten Homomorphismus auf der Homologie im Sinne von Fakt.
Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ein kovarianter additiver linksexakter Funktor und es bezeichne die rechtsabgeleiteten Funktoren. Dann gelten folgende Eigenschaften
- Die sind wohldefinierte additive Funktoren von nach .
- Es liegt ein natürlicher Isomorphismus vor.
- Zu jeder kurzen exakten Sequenz
in und jedem gibt es natürliche Verbindungshomomorphismen
derart, dass ein exakter Komplex
in vorliegt.
- Zu einem Homomorphismus von exakten Sequenzen
kommutiert das Diagramm
- Die Wohldefiniertheit, also die Unabhängigkeit von der gewählten injektiven Auflösung, zeigen wir den Fall, dass die Kategorie der -Moduln ist, der Formulierungsaufwand im allgemeinen Fall ist etwas größer. Es seien
und
injektive Auflösungen zu einem Modul . Dann gibt es nach Fakt Homomorphismen von Kettenkomplexen
und
Dabei sind die Hintereinanderschaltungen und nach Fakt homotop zur Identität auf bzw. auf . Dies gilt nach Fakt auch für die zugehörigen Homomorphismen auf den Komplexen bzw. . D.h. für die induzierten Homomorphismen auf den Homologien gilt, dass die Verknüpfung
die Identität ist. Somit sind die kanonische Isomorphismen.
Die Additivität gilt nach Fakt stets in der Homologie.
- Es sei eine injektive Auflösung des Objektes . Die -te Homologie des Komplexes
ist einfach der Kern des Homomorphismus
Wegen der Linksexaktheit von ist dieser Kern aber gleich .
- Nach
Fakt
gibt es ein kommutatives Diagramm
mit exakten Zeilen und Spalten. Da die einzelnen Zeilen (bis auf die Ausgangssequenz) spalten, erhält man für jedes eine kurze exakte Sequenz
Es liegt somit ein kommutatives Diagramm
mit exakten Zeilen vor. In einer solchen Situation gibt es nach Fakt einen Homomorphismus vom Kern von in den Kern von und somit auch nach . Dabei geht das Bild von auf und somit induziert dies einen Homomorphismus
- Siehe Aufgabe.
Die Abbildung nennt man auch den verbindenden Homomorphismus
Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ein kovarianter additiver linksexakter Funktor.
Dann gilt für jedes injektive Objekt aus und für die rechtsabgeleiteten Funktoren .
Dies ergibt sich unmittelbar, da wir mit der injektiven Auflösung
arbeiten können.
Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Ein Objekt aus heißt azyklisch (bezüglich ), wenn für jedes für die rechtsabgeleiteten Funktoren die Beziehung gilt.
Nach Fakt ist ein injektives Objekt azyklisch.
Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Es sei ein Objekt aus und es sei
exakt mit einem azyklischen Objekt .
Dann ist
und
für .
Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
Die Behauptungen folgen aus der langen exakten Sequenz, da ja die mittleren Terme nach Voraussetzung sind.