Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

   $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   ein äußeres Maß auf ${}M$ und ${}{\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von ${}\mu$ auf die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$. Dann gelten folgende Aussagen.

   1. Das Mengensystem aller Teilmengen ${}Z\subseteq M$, die die Zerlegungseigenschaft besitzen, bilden eine ${}\sigma$-Algebra.
   2. Die Einschränkung von ${}{\tilde {\mu }}$ auf diese ${}\sigma$-Algebra ist ein Maß.
2. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum, ${}(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   eine messbare Abbildung. Es sei ${}\nu$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$, das ebenfalls als ${}\sigma$-endlich vorausgesetzt sei, und es sei

   $f\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   eine ${}\nu$-integrierbare Funktion. Dann ist auch ${}f\circ \varphi$ ${}\mu$-integrierbar, und es gilt

   ${}\int _{N}f\,d\nu =\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu \,.$

3. Es sei ${}M$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie. Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow \partial M,$

   deren Einschränkung

   auf ${}\partial M$ die Identität ist.

Zur gelösten Aufgabe