Cavalieri-Prinzip/Einführung/Textabschnitt

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$-endliche Maßräume und ${}T\subseteq M\times N$ eine messbare Teilmenge. Für jeden Punkt ${}x\in M$ ist

Bonaventura Cavalieri (1598-1647)

${}T(x)={\left\{y\in N\mid (x,y)\in T\right\}}\,.$

Wir erinnern an Fakt, nachdem diese Mengen messbar sind. In welcher Beziehung steht ${}(\mu \otimes \nu )(T)$ zur Funktion

$M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \nu (T(x))?$

Bei ${}N=\mathbb {R}$ und wenn ${}T$ der Subgraph zu einer nichtnegativen messbaren Funktion ${}f$ ist, so ist ${}\lambda ^{1}(T(x))=f(x)$ und nach der Definition des Integrals gilt

${}(\mu \otimes \lambda ^{1})(T)=\int _{M}f(x)\,d\mu =\int _{M}\lambda ^{1}(T(x))\,d\mu \,.$

Der Satz von Cavalieri besagt, dass die Gleichheit zwischen links und rechts für beliebige messbare Teilmengen ${}T$ gilt. Um diesen Satz überhaupt formulieren zu können, müssen wir zunächst sicherstellen, dass die Funktion ${}x\mapsto \nu (T(x))$ messbar ist.

Lemma

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$-endliche Maßräume und sei ${}T\subseteq M\times N$ eine messbare Teilmenge.

Dann sind die Funktionen

$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \nu (T(x)),$

und

$N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,y\longmapsto \mu (T(y)),$

messbar.

Beweis

Wir zeigen die Messbarkeit der ersten Funktion ${}x\mapsto \nu (T(x))$. Dabei reduzieren wir zuerst auf die Situation in der das Maß ${}\nu$ auf ${}N$ endlich ist. Nach Voraussetzung gibt es eine abzählbare messbare Ausschöpfung ${}N_{n}\uparrow N$ mit ${}\nu (N_{n})<\infty$. Wir setzen ${}T_{n}=T\cap {\left(M\times N_{n}\right)}$. Dann ist ${}T_{n}\uparrow T$ und damit auch ${}T_{n}(x)\uparrow T(x)$ für jedes ${}x\in M$. Wenn wir für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Messbarkeit von ${}x\mapsto \nu (T_{n}(x))$ gezeigt haben, so folgt sie wegen Fakt auch für ${}x\mapsto \nu (T(x))=\lim _{n\rightarrow \infty }\nu (T_{n}(x))$. Wir können also annehmen, dass ${}\nu (N)<\infty$ ist.

Wir wollen zeigen, dass für jedes ${}T\subseteq M\times N$ die Funktion ${}x\mapsto \nu (T(x))$ messbar ist.  Wie setzen

${\mathcal {D}}={\left\{T\in {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}\mid {\text{Die Funktion }}x\mapsto \nu (T(x)){\text{ ist messbar}}\right\}}\,$

und müssen zeigen, dass dies die gesamte Produkt-${}\sigma$-Algebra ist. Zunächst gehören die messbaren Quader ${}A\times B$ zu ${}{\mathcal {D}}$. Es ist ja

${}(A\times B)(x)={\begin{cases}B,{\text{ falls }}x\in A\\\emptyset {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

und damit ist

${}\nu (T(x))=\nu (B)\cdot e_{A}(x)\,$

messbar. Wir zeigen, dass ${}{\mathcal {D}}$ ein Dynkin-System ist. Es ist ${}M\times N\in {\mathcal {D}}$. Seien ${}S\subseteq T$ Teilmengen, die zu ${}{\mathcal {D}}$ gehören. Dann ist ${}(T\setminus S)(x)=T(x)\setminus S(x)$ und ${}\nu ((T\setminus S)(x))=\nu (T(x))-\nu (S(x))$ ist nach Fakt messbar. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ ist ${}T(x)=\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)$. Wenn ${}T_{i}\in {\mathcal {D}}$ für alle ${}i\in I$ ist, so ist die Funktion ${}x\mapsto \nu (T(x))=\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))$ nach Fakt wieder messbar.
Damit ist insgesamt ${}{\mathcal {D}}$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem aller Quader für die ${}\sigma$-Algebra ${}{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ enthält. Deshalb ist ${}{\mathcal {D}}={\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ nach Fakt.

$\Box$

Wir werden im Folgenden die Notation ${}\int _{M}f(x)\,d\mu (x)$ verwenden, die betont, dass die Funktion ${}f$ von ${}x\in M$ abhängt. Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn es um einen Produktraum ${}M\times N$ geht und Verwechslungen möglich sind.

Satz

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$-endliche Maßräume.

Dann gilt für alle messbaren Teilmengen ${}T\subseteq M\times N$ die Beziehung

${}(\mu \otimes \nu )(T)=\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x)=\int _{N}\mu (T(y))\,d\nu (y)\,.$

Beweis

Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung

${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,T\longmapsto \int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x),$

ein Maß auf der Produkt-${}\sigma$-Algebra ist. Es sei dazu ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ eine abzählbare Zerlegung in paarweise disjunkte messbare Teilmengen. Nach Aufgabe ist

${}{\begin{aligned}\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu &=\int _{M}\nu {\left({\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}\right)}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\nu {\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))\,d\mu \\&=\sum _{i\in I}\int _{M}\nu (T_{i}(x))\,d\mu ,\end{aligned}}$

so dass die ${}\sigma$-Additivität erfüllt ist.
Für einen Quader ${}A\times B$ ist

${}\int _{M}\nu ((A\times B)(x))\,d\mu =\int _{A}\nu (B)\,d\mu =\mu (A)\cdot \nu (B)\,.$

Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaß muss daher das durch das Integral definierte Maß mit dem Produktmaß übereinstimmen.

$\Box$