Dachprodukt/Eigenschaften/Basis/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}m$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}V$ und es sei ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann bilden die Dachprodukte

$v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$

eine Basis von ${}\bigwedge ^{n}V$.

Beweis

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt.  Da die Elemente der Form ${}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ nach Fakt  (1) ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$ bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes ${}w_{j}$ gibt es eine Darstellung ${}w_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}v_{i}$, daher kann man nach Fakt  (4) die ${}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ als Linearkombinationen von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also ${}v_{k_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{k_{n}}$ gegeben mit ${}k_{j}\in \{1,\ldots ,m\}$. Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach Fakt  (3) (unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens) erreichen, dass die Indizes (nicht notwendigerweise streng) aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach Fakt  (2) das Dachprodukt ${}0$. Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Fakt, dass es zu jeder ${}n$-elementigen Teilmenge ${}I=\{i_{1},\ldots ,i_{n}\}\subseteq \{1,\ldots ,m\}$ (mit $i_{1}<\ldots <i_{n}$) eine ${}K$-lineare Abbildung

$\bigwedge ^{n}V\longrightarrow K$

gibt, die ${}v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}$ nicht auf ${}0$ abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf ${}0$ abbildet. Dazu genügt es nach Fakt, eine alternierende multilineare Abbildung

$\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$

anzugeben mit ${}\triangle {\left(v_{i_{1}},\ldots ,v_{i_{n}}\right)}\neq 0$, aber mit ${}\triangle {\left(v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{n}}\right)}=0$ für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei ${}U$ der von den ${}v_{i}$, ${}i\neq i_{k}$, erzeugte Untervektorraum von ${}V$ und ${}W=V/U$ der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der ${}v_{i_{k}}$, ${}k=1,\ldots ,n$, eine Basis von ${}W$, und die Bilder von allen anderen ${}n$-Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf ${}0$ geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung

$\triangle :V^{n}\longrightarrow W^{n}\cong (K^{n})^{n}{\stackrel {\det }{\longrightarrow }}K.$

Diese Abbildung ist nach Fakt multilinear und nach Fakt alternierend. Nach Fakt ist ${}\triangle (z_{1},\ldots ,z_{n})=0$ genau dann, wenn die Bilder von ${}z_{i}$ in ${}W$ keine Basis bilden.

$\Box$

Bei ${}V=K^{m}$ mit der Standardbasis ${}e_{1},\ldots ,e_{m}$ nennt man die ${}e_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i_{n}}$ mit ${}i_{1}<\ldots <i_{n}$ die Standardbasis von ${}\bigwedge ^{n}K^{m}$.

Bemerkung  

Zu Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$ mit den Beziehungen

${}v_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\,$

erhält man zwischen den Basen

$v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m\,\,{\text{ und }}\,\,w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$

des ${}\bigwedge ^{n}V$ die Beziehung

$v_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{j_{n}}=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{n}\leq m}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{s=1}^{n}a_{i_{s}j_{\pi (s)}}\right)}w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}\,$

Dies beruht gemäß Fakt  (4) auf

${}{\begin{aligned}v_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{j_{n}}&={\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij_{1}}w_{i}\right)}\wedge \ldots \wedge {\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij_{n}}w_{i}\right)}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{n}\leq m}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{s=1}^{n}a_{i_{s}j_{\pi (s)}}\right)}w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}.\end{aligned}}$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}m$.

Dann besitzt das ${}n$-te äußere Produkt ${}\bigwedge ^{n}V$ die Dimension

${\binom {m}{n}}.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.

$\Box$

Insbesondere ist die äußere Potenz für ${}n=0$ eindimensional (es ist ${}\bigwedge ^{0}V=K$) und für ${}n=1$ ${}m$-dimensional (es ist ${}\bigwedge ^{1}V=V$). Für ${}n=m$ ist ${}\bigwedge ^{m}V$ eindimensional, und die Determinante induziert (nach einer Identifizierung von ${}V$ mit ${}K^{m}$) einen Isomorphismus

$\bigwedge ^{m}V\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{m})\longmapsto \det(v_{1},\ldots ,v_{m}).$

Für ${}n>m$ sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension ${}0$.