Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Textabschnitt

Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei

$\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$

eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Beweis

Wir verwenden die Notation aus Fakt. Durch die Zuordnung

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\longmapsto \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$

wird nach Fakt eine ${}K$-lineare Abbildung

${\bar {\psi }}\colon H\longrightarrow W$

definiert. Da ${}\psi$ multilinear und alternierend ist, wird unter ${}{\bar {\psi }}$ der Untervektorraum ${}U\subseteq H$ auf ${}0$ abgebildet. Nach Fakt gibt es daher eine ${}K$-lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon H/U\longrightarrow W,$

die mit ${}{\bar {\psi }}$ verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$ bilden und diese auf ${}\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ abgebildet werden müssen.

$\Box$

Es bezeichne ${}\operatorname {Alt} ^{n}(V,K)$ die Menge aller alternierenden Abbildungen von ${}V^{n}$ nach ${}K$. Diese Menge kann man mit einer natürlichen ${}K$-Vektorraumstruktur versehen, siehe Aufgabe.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

${\left(\bigwedge ^{n}V\right)}^{*}\longrightarrow \operatorname {Alt} ^{n}(V,K),\,\psi \longmapsto ((v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto \psi (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})).$

Beweis

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung ${}\psi \mapsto \psi \circ \delta$, wobei ${}\delta \colon V\times \cdots \times V\rightarrow \bigwedge ^{n}V$ die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Dualraumes und des Raumes der alternierenden Formen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Fakt, angewendet auf ${}W=K$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}k\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es eine kanonische surjektive lineare Abbildung

$V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V\longrightarrow V\wedge \ldots \wedge V,\,v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{k}\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}.$

Beweis

Dies ergibt sich aus der alternierenden Abbildung

$V^{k}\longrightarrow \bigwedge ^{k}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k},$

gemäß Fakt  (2). Die Surjektivität beruht darauf, dass das Erzeugendensystem ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$ im Bild liegt.

$\Box$