Der Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion und separabel/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L=K(x)$ eine endliche einfache Körpererweiterung und ${}K\subseteq M\subseteq L$ ein Zwischenkörper. Es sei ${}G=\sum _{j=0}^{k}b_{j}X^{j}\in M[X]$ das Minimalpolynom von ${}x$ über ${}M$.

Dann ist ${}M=K(b_{0},\ldots ,b_{k})$.

Beweis

Wir gehen von der Inklusion ${}K'=K(b_{0},\ldots ,b_{k})\subseteq M$ aus. Die Körpererweiterung ${}K'\subseteq L$ ist ebenfalls einfach mit dem Erzeuger ${}x$, und ${}G\in K'[X]$ ist irreduzibel, da es ja irreduzibel in ${}M[X]$ ist. Somit ist ${}G$ nach Fakt auch das Minimalpolynom von ${}x$ über ${}K'$. Daher ist ${}L=M[X]/(G)$ und ${}L=K'[X]/(G)$ und insbesondere

${}\operatorname {grad} _{M}L=\operatorname {grad} \,(G)=\operatorname {grad} _{K'}L\,.$

Nach der Gradformel, angewendet auf ${}K'\subseteq M\subseteq L$, folgt ${}K'=M$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist ${}K\subseteq L$ genau dann eine einfache Körpererweiterung, wenn es nur endlich viele Zwischenkörper ${}K\subseteq M\subseteq L$ gibt.

Beweis

Wenn ${}K$ ein endlicher Körper ist, so ist auch ${}L$ endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach Fakt die Körpererweiterung einfach. Wir können also annehmen, dass ${}K$ unendlich ist. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass es in ${}K\subseteq L$ nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei ${}\operatorname {grad} _{K}L=n$. Jeder von ${}L$ verschiedene Zwischenkörper ${}M_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$, ist ein maximal ${}(n-1)$-dimensionaler ${}K$-Untervektorraum von ${}L$ und daher gibt es eine von ${}0$ verschiedene ${}K$-lineare Abbildung

$\varphi _{i}\colon L\longrightarrow K$

mit ${}\varphi _{i}(M_{i})=0$. Zu ${}\varphi _{i}$ gehört ein lineares Polynom ${}P_{i}$ (in ${}n$ Variablen) mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom ${}P=\prod _{i=1}^{k}P_{i}$ ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper ${}M_{i}\neq L$ gleich ${}0$. Da ${}K$ unendlich ist, gibt es aber nach Aufgabe auch Elemente ${}a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L$ mit ${}P(a)\neq 0$. Der von einem solchen Element ${}a$ über ${}K$ erzeugte Körper muss gleich ${}L$ sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.

Es sei nun

${}L=K(x)=K[x]=K[X]/(F)\,$

eine einfache Körpererweiterung mit dem Minimalpolynom ${}F\in K[X]$. Für jeden Zwischenkörper ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ist ${}L=M(x)$ und das Minimalpolynom ${}G$ von ${}x$ über ${}M$ ist in ${}M[X]$ und insbesondere in ${}L[X]$ ein Teiler von ${}F$. Nach Fakt besteht die Beziehung ${}M=K(b_{0},\ldots ,b_{k})$, wobei die ${}b_{j}$ die Koeffizienten von ${}G$ sind. Da ${}F$ in ${}L[X]$ nur endlich viele (normierte) Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche einfache Körpererweiterung und ${}K\subseteq M\subseteq L$ ein Zwischenkörper.

Dann ist auch ${}K\subseteq M$ eine einfache Körpererweiterung.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da ja ${}K\subseteq M$ unter der Voraussetzung auch nur endlich viele Zwischenkörper besitzt.

$\Box$

Der folgende Satz heißt Satz vom primitiven Element.

Satz

Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung. Dann wird ${}L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein ${}f\in L$ mit

${}L=K(f)\cong K[X]/(P)\,$

mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom ${}P\in K[X]$.

Beweis

Bei ${}K$ endlich folgt die Aussage sofort aus Fakt, wir können also ${}K$ als unendlich annehmen. Es sei ${}K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Es genügt zu zeigen, dass man sukzessive zwei Erzeuger davon durch einen Erzeuger ersetzen kann. Dabei ist ${}K\subseteq K[x_{1},x_{2}]$ ebenfalls separabel. Es sei also ${}L=K[x,y]$ gegeben und ${}n=\operatorname {grad} _{K}L$. Es sei ${}K\subseteq M$ eine Körpererweiterung, unter der die Minimalpolynome von ${}x$ und von ${}y$ in Linearfaktoren zerfallen. Es gibt gemäß Fakt ${}n$ ${}K$-Einbettungen

$\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\colon L\longrightarrow M.$

Wir betrachten das Polynom

${}P=\prod _{i\neq j}{\left((\sigma _{i}(y)-\sigma _{j}(y))X+\sigma _{i}(x)-\sigma _{j}(x)\right)}\,,$

das zu ${}M[X]$ gehört. Dies ist nicht das Nullpolynom, da keiner der Linearfaktoren gleich ${}0$ ist. Daher besitzt ${}P$ nur endlich viele Nullstellen und somit gibt es, da ${}K$ unendlich ist, ein ${}c\in K$ mit ${}P(c)\neq 0$. Die Elemente ${}\sigma _{i}(x+cy)=\sigma _{i}(x)+c\sigma _{i}(y)$ sind alle verschieden. Aus ${}\sigma _{i}(x)+c\sigma _{i}(y)=\sigma _{j}(x)+c\sigma _{j}(y)$ für ${}i\neq j$ folgt nämlich ${}(\sigma _{i}(y)-\sigma _{j}(y))c+\sigma _{i}(x)-\sigma _{j}(x)=0$, und ${}c$ wäre doch eine Nullstelle von ${}P$. Es gibt also ${}n$ verschiedene Einbettungen von ${}K(x+cy)$ nach ${}M$ und insbesondere ist ${}\operatorname {grad} _{K}K(x+cy)\geq n$, also ist ${}K(x+cy)=L$.

$\Box$