Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Einführung/Textabschnitt

In der folgenden Definition bezeichnen wir zu einer Karte ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ und einer Differentialform ${}\omega$ auf ${}U$ die nach ${}V$ transportierte Differentialform mit ${}\alpha _{*}\omega$. Das ist dasselbe wie die zurückgezogene Form ${}\alpha ^{-1*}\omega$.

Definition

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine messbare ${}n$-Differentialform auf ${}M$. Dann heißt ${}\omega$ eine positive Volumenform, wenn für jede Karte (eines gegebenen Atlases)

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

(mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform

${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

die Funktion ${}f$ überall positiv ist.

Dabei ist die Funktion ${}f$ durch

$f(Q)=\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}\,$

festgelegt. Eine solche positive Volumenform kann es nur geben, wenn die Mannigfaltigkeit orientierbar ist (siehe Fakt weiter unten).

Lemma

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Zu einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}\alpha _{*}(\omega {|}_{U})=fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und einer messbaren Teilmenge ${}T\subseteq U$ setzen wir

${}\nu (\alpha ,T):=\int _{\alpha (T)}f\,d\lambda ^{n}\,$

Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Wenn ${}T\subseteq U_{1},U_{2}$ zwei Kartenumgebungen sind, so ist ${}\nu (\alpha _{1},T)=\nu (\alpha _{2},T)$.
2. Zu einer messbaren Teilmenge ${}T\subseteq M$ gibt es eine abzählbare disjunkte Vereinigung ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ derart, dass jedes ${}T_{i}$ ganz in einer Karte ${}U_{i}$ liegt.
3. Die Summe ${}\sum _{i\in I}\nu (\alpha _{i},T_{i})$ ist unabhängig von der gewählten abzählbaren disjunkten Zerlegung in (2).

Beweis

(1). Wegen ${}T\subseteq U_{1}\cap U_{2}$ können wir ${}U=U_{1}=U_{2}$ annehmen (aber mit unterschiedlichen Kartenabbildungen ${}\alpha _{1}$ und ${}\alpha _{2}$ nach ${}V_{1}$ bzw. ${}V_{2}$). Es sei

$\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

der diffeomorphe Kartenwechsel. Dann gelten nach Fakt und nach Fakt, und da wegen der Positivität von ${}f_{1}=(f_{2}\circ \psi )\det {\left(D\psi \right)}$ und von ${}f_{2}$ auch die Determinante positiv ist, die Gleichheiten

${}{\begin{aligned}\nu (\alpha _{2},T)&=\int _{\alpha _{2}(T)}f_{2}\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{\alpha _{1}(T)}(f_{2}\circ \psi ){|}\det {\left(D\psi \right)}{|}\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{\alpha _{1}(T)}(f_{2}\circ \psi )\cdot \det {\left(D\psi \right)}\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{\alpha _{1}(T)}f_{1}\,d\lambda ^{n}\\&=\nu (\alpha _{1},T).\end{aligned}}$

(2). Es sei ${}U_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine abzählbarer Atlas. Dann kann man die Mengen ${}T_{n}=T\cap (U_{n}\setminus \bigcup _{m<n}U_{m})$ nehmen.
(3). Es seien ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}=\biguplus _{j\in J}S_{j}$ zwei abzählbare disjunkte messbare Zerlegungen, deren Glieder jeweils in Karten enthalten seien. Die Karten seien einerseits ${}(U_{i},\alpha _{i})$ mit den die Form beschreibenden Funktionen ${}f_{i}$ und andererseits ${}(V_{j},\beta _{j})$ mit den die Form beschreibenden Funktionen ${}g_{j}$. Wir betrachten die ebenfalls abzählbare Zerlegung, die durch die Mengen ${}T_{i}\cap S_{j}$, ${}(i,j)\in I\times J$, gegeben ist. Nach Fakt (angewendet auf die einzelnen Kartenbilder) gilt dann unter Verwendung von Teil (1)

${}{\begin{aligned}\sum _{i\in I}{\left(\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\right)}&=\sum _{i\in I}{\left(\sum _{j\in J}\int _{\alpha _{i}(T_{i}\cap S_{j})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\sum _{j\in J}\int _{\beta _{j}(T_{i}\cap S_{j})}g_{j}\,d\lambda ^{n}\right)}\\&=\sum _{j\in J}{\left(\sum _{i\in I}\int _{\beta _{j}(T_{i}\cap S_{j})}g_{j}\,d\lambda ^{n}\right)}\\&=\sum _{j\in J}{\left(\int _{\beta _{j}(S_{j})}g_{j}\,d\lambda ^{n}\right)}.\end{aligned}}$

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Definition

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Dann heißt die für jede Borelmenge ${}T\subseteq M$ durch eine abzählbare Zerlegung ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ (wobei ${}T_{i}\subseteq U_{i}$ ein offenes Kartengebiet und ${}\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist) definierte Zahl

${}\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,$

(aus ${}{\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$) das Maß von ${}T$ zu ${}\omega$ oder das Integral von ${}\omega$ über ${}T$.

Nach dem vorstehenden Lemma ist dieses Volumenmaß wohldefiniert. Nach Aufgabe handelt es sich um ein ${}\sigma$-endliches Maß. Für eine offene Menge ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ und eine positive ${}n$-Form ${}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist einfach

${}\int _{T}\omega =\int _{T}fd\lambda ^{n}\,.$

Lemma

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es seien ${}\omega _{1}$ und ${}\omega _{2}$ positive Volumenformen auf ${}M$.

Dann gilt für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ und ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$ die Beziehung

${}\int _{T}(a\omega _{1}+b\omega _{2})=a\int _{T}\omega _{1}+b\int _{T}\omega _{2}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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