Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Rang 1/Satz von Frobenius/Aufgabe/Lösung
Wir können von der lokalen Situation ausgehen, dass auf dem trivialen Vektorbündel
ein Zusammenhang vorliegt, wobei wir als sternförmig annehmen können. Der Zusammenhang wird durch die Christoffelsymbole beschrieben. Da der Zusammenhang als krümmungsfrei vorausgesetzt wird, gilt nach Fakt, dass die -Differentialform geschlossen ist. Nach Aufgabe bedeutet dies, dass das zugehörige Vektorfeld
die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Dies bedeutet nach Fakt, dass auf der sternförmigen offenen Menge ein Gradientenfeld vorliegt. Es gibt also eine stetig differenzierbare Funktion
mit
für alle . Wir setzen
und fassen als einen Schnitt im trivialen Bündel auf. Dabei ist nach Fakt
d.h. dass ein nullstellenfreier horizontaler Schnitt
ist, der als lokal integrabel erweist.