Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Rang 1/Satz von Frobenius/Aufgabe/Lösung


Wir können von der lokalen Situation ausgehen, dass auf dem trivialen Vektorbündel

ein Zusammenhang vorliegt, wobei wir als sternförmig annehmen können. Der Zusammenhang wird durch die Christoffelsymbole beschrieben. Da der Zusammenhang als krümmungsfrei vorausgesetzt wird, gilt nach Fakt, dass die -Differentialform geschlossen ist. Nach Aufgabe bedeutet dies, dass das zugehörige Vektorfeld

die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Dies bedeutet nach Fakt, dass auf der sternförmigen offenen Menge ein Gradientenfeld vorliegt. Es gibt also eine stetig differenzierbare Funktion

mit

für alle . Wir setzen

und fassen als einen Schnitt im trivialen Bündel auf. Dabei ist nach Fakt

d.h. dass ein nullstellenfreier horizontaler Schnitt

ist, der als lokal integrabel erweist.