Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	3	2	2	4	3	1	3	3	4	0	2	40

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Einheit ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
3. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches ${}R$.
4. Die Diskriminante eines Zahlbereichs ${}R$.
5. Ein gebrochenes Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ zu einem Zahlbereich.
6. Die Darstellbarkeit einer ganzen Zahl ${}n$ durch eine binäre quadratische Form.

Lösung

1. Ein Element ${}u$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.
2. Eine zahlentheoretische Funktion

   $f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen ${}m,n$ stets

   ${}f(mn)=f(m)f(n)\,$

   gilt.

3. Man nennt den ganzen Abschluss von ${}R$ im Quotientenkörper ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$.
4. Man nennt die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von ${}R$ die Diskriminante von ${}R$.
5. Man nennt einen endlich erzeugten ${}R$-Untermodul ${}{\mathfrak {f}}$ des Quotientenkörpers ${}Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.
6. Man sagt, dass eine ganze Zahl ${}n$ durch eine binäre quadratische Form

   $aX^{2}+bXY+cY^{2}$

   darstellbar ist, wenn es ganze Zahlen ${}(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ mit

   ${}n=ax^{2}+bxy+cy^{2}\,$

   gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt/Name
2. Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt/Name
3. Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt/Name

Lösung

1. Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Dann gibt es ${}{\frac {p+1}{2}}$ quadratische Reste modulo ${}p$ und ${}{\frac {p-1}{2}}$ nichtquadratische Reste modulo ${}p$.
2. Es gibt Konstanten ${}C>c>0$ derart, dass die Primzahlfunktion ${}\pi (x)$ für alle ${}x$ den Abschätzungen

   ${}c{\frac {x}{\ln(x)}}\leq \pi (x)\leq C{\frac {x}{\ln(x)}}\,$

   genügt.
3. Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}A_{D}$. Dann gilt

   ${}{\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(N({\mathfrak {a}}))\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.

${}2^{7}+17^{3}=71^{2}\,.$

Lösung

Es ist

${}2^{7}=128\,$

und

${}17^{3}=289\cdot 17=4913\,$

und somit

${}2^{7}+17^{3}=128+4913=5041\,.$

Andererseits ist

${}71\cdot 71=5041\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}71894$ und ${}45327$.

Lösung

Der Euklidische Algorithmus liefert:

$71894=1\cdot 45327+26567$

$45327=1\cdot 26567+18760$

$26567=1\cdot 18760+7807$

$18760=2\cdot 7807+3146$

$7807=2\cdot 3146+1515$

$3146=2\cdot 1515+116$

$1515=13\cdot 116+7$

$116=16\cdot 7+4$

$7=1\cdot 4+3$

$4=1\cdot 3+1.$

Die Zahlen ${}71894$ und ${}45327$ sind also teilerfremd.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl ${}\geq 2$, die nicht prim ist und die außer ${}1$ keinen Teiler kleiner als ${}10$ besitzt.

Lösung

Die Zahl besitzt jedenfalls eine Primfaktorzerlegung, in der ${}2,3,5,7$ nicht vorkommen. Der kleinste mögliche Primfaktor ist somit ${}11$. Da es keine Primzahl sein darf, ist

${}11^{2}=121\,$

die kleinste Möglichkeit.

Aufgabe (3 Punkte)

Es ist ${}1+2+3=1\cdot 2\cdot 3$. Gibt es neben der ${}1$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen ${}x$, die die Gleichung

${}x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,$

erfüllen?

Lösung

Es gibt noch die ganzzahligen Lösungen

${}x=-3\,$

(Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist ${}-6$) und

${}x=-1\,$

(Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist ${}0$). Die Gleichung ist eine polynomiale Gleichung vom Grad ${}3$, daher gibt es über einem beliebigen Körper keine weiteren Lösungen.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${}R$.

Lösung

Angenommen, wir haben eine Zerlegung ${}p=ab$. Wegen der Primeigenschaft teilt ${}p$ einen Faktor, sagen wir ${}a=ps$. Dann ist ${}p=psb$ bzw. ${}p(1-sb)=0$. Da ${}p$ kein Nullteiler ist, folgt ${}1=sb$, sodass also ${}b$ eine Einheit ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$

in ${}\mathbb {N}$ auch Lösungen ${}a\neq b$ besitzt.

Lösung

Beispielsweise ist

${}{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {3+2}{30}}={\frac {5}{30}}={\frac {1}{6}}={\frac {2}{12}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

${}f(a)=g(a)\,$

gilt.

Lösung

Wir führen im Polynomring ${}(\mathbb {Z} /(p))[X]$ die Division mit Rest von ${}f$ durch ${}X^{p}-X$ durch und erhalten

${}f=(X^{p}-X)q+g\,.$

Dabei ist ${}g=0$ oder aber der Grad von ${}g$ ist ${}d<p$ (das Nullpolynom habe jeden Grad). Setzt man links und rechts ein Element ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ ein, so ist stets ${}a^{p}=a$ nach dem kleinen Fermat, d.h. der linke Summand ist immer null und damit stimmen ${}f$ und ${}g$ an diesen Stellen überein.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$?

Wie viele Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei ${}x$ ein primitives Element von ${}\mathbb {Z} /(31)$. Liste explizit alle Elemente ${}x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

Lösung

Es gibt ${}16$ Quadrate. ${}\varphi (30)=\varphi (2\cdot 3\cdot 5)=2\cdot 4=8$, also gibt es ${}8$ primitive Elemente.

Ein Quadrat ist nicht primitiv. Deshalb gibt es ${}8+16=24$ Elemente, die ein Quadrat oder primitiv sind. Es verbleiben ${}7$ Elemente, die weder ein Quadrat noch primitiv sind.

Es sei ${}x$ primitiv. Ein Element der Form ${}x^{i}$ ist genau dann primitiv, wenn ${}i$ und ${}30$ teilerfremd sind. Es ist genau dann ein Quadrat, wenn ${}i$ gerade ist. Gesucht sind also die ungeraden Zahlen ${}\leq 30$, die nicht teilerfremd zu ${}30$ sind. Sie müssen also ${}3$ oder ${}5$ als Teiler haben. Damit verbleiben ${}i=3,5,9,15,21,25,27$.

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl

${\sqrt {1000000000000000000000000000}}$

rational ist oder nicht.

Lösung

Es ist

${}{\sqrt {1000000000000000000000000000}}={\sqrt {10^{27}}}=10^{13}\cdot {\sqrt {10}}\,$

nicht rational nach Fakt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass das Produkt von ${}n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von ${}n!$ geteilt wird.

Lösung

Es ist

${}\prod _{j=1}^{n}(k+j)={\frac {(k+n)!}{k!}}=n!{\frac {(k+n)!}{n!k!}}=n!{\binom {k+n}{k}}\,.$

Da der Binomialkoeffizient ${}{\binom {k+n}{k}}$ eine ganze Zahl ist, folgt, dass das Produkt der ${}n$ aufeinanderfolgenden Zahlen von ${}n!$ geteilt wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

${}X^{4}-2\in \mathbb {Z} /(3)[X]\,$

nicht irreduzibel ist.

Lösung

Es ist

${}X^{4}+1={\left(X^{2}+X+2\right)}{\left(X^{2}+2X+2\right)}\,.$

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

${}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$

ein Körper mit ${}343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${}K$ das Produkt ${}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${}T+1$.

Lösung

a) Es ist

$1^{3}=1,\,2^{3}=1,\,3^{3}=6,\,4^{3}=1,\,5^{3}=6,\,6^{3}=6.$

Also besitzt das Polynom ${}T^{3}-2$ keine Nullstelle in ${}\mathbb {Z} /(7)$ und ist somit irreduzibel, also ist ${}\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)$ ein Körper. Die Restklassen von ${}1,T,T^{2}$ bilden eine ${}\mathbb {Z} /(7)$-Basis, sodass dieser Körper ${}7^{3}=343$ Elemente besitzt.

b) Es ist

${}{\begin{aligned}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)&=2T^{4}+4T^{3}+6T^{2}+3T+6\\&=4T+1+6T^{2}+3T+6\\&=6T^{2}.\end{aligned}}$

c) Polynomdivision liefert

$T^{3}-2=(T^{2}+6T+1)(T+1)+4.$

In ${}K$ gilt somit

${}(T+1)(T^{2}+6T+1)=3\,.$

Das Inverse von ${}3$ in ${}\mathbb {Z} /(7)$ ist ${}5$, also ist

$5T^{2}+2T+5$

das Inverse von ${}T+1$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}R=A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ das Primideal ${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})$. Zeige direkt, dass das Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein Hauptideal ist.

Lösung

Es ist

${}{\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}{\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}=6=2\cdot 3\,.$

Es ist ${}3\notin {\mathfrak {p}}$, da sonst das Einheitsideal vorliegen würde. Also ist ${}3$ in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ eine Einheit und es ist

${}2={\frac {1}{3}}{\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}{\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}\,$

und somit ist ${}1+{\sqrt {-5}}$ ein Erzeuger von ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$.