Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Textabschnitt
- Endliche Körper
Wir erinnern kurz an die Charakteristik eines Ringes. Zu jedem kommutativen Ring gibt es den kanonischen Ringhomomorphismus
und der Kern davon ist ein Ideal in und hat daher die Form mit einem eindeutig bestimmten . Diese Zahl nennt man die Charakteristik von . Ist ein Körper, so ist dieser Kern ein Primideal, also oder mit einer Primzahl . Man spricht von Charakteristik null oder von positiver Charakteristik .
Wir erinnern ferner an den Begriff des Frobeniushomomorphismus (siehe Fakt): Für einen Ring der Charakteristik ( Primzahl) ist die Abbildung , , ein Ringhomomorphismus.
Wir haben bereits die endlichen Primkörper zu einer Primzahl kennengelernt. Sie besitzen Elemente, und ein Körper besitzt genau dann die Charakteristik , wenn er diesen Primkörper enthält.
Es sei ein endlicher Körper.
Dann besitzt genau Elemente, wobei eine Primzahl ist und .
Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Fakt nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit bezeichnet. Das bedeutet, dass den Körper enthält. Damit ist aber ein Vektorraum über , und zwar, da endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei die Dimension, . Dann hat man eine -Vektorraumisomorphie
und somit besitzt gerade Elemente.
Die vorstehende Aussage gilt allgemeiner für endliche Ringe, die einen Körper enthalten.
Endliche Körper der Anzahl konstruiert man, indem man ein in irreduzibles Polynom vom Grad findet. Ob ein gegebenes Polynom irreduzibel ist lässt sich dabei grundsätzlich in endlich vielen Schritten entscheiden, da es ja zu jedem kleineren Grad überhaupt nur endlich viele Polynome gibt, die als Teiler in Frage kommen können. Zur Konstruktion von einigen kleinen endlichen Körpern siehe die Fakt.
Zunächst gilt für jedes Element , dass
ist, wobei wir wiederholt den kleinen Fermat benutzt haben. Insbesondere ist also . Es ist und der Frobeniushomomorphismus
ist ein Ringhomomorphismus nach Aufgabe. Daher ist für einerseits
und andererseits
Ferner gilt für , , die Gleichheit
sodass auch das Inverse zu gehört und in der Tat ein Körper vorliegt.
Es sei ein Körper der Charakteristik , sei , . Das Polynom zerfalle über in Linearfaktoren.
Dann ist
ein Unterkörper von mit Elementen.
Wenn es also einen Erweiterungskörper gibt, über den das Polynom in Linearfaktoren zerfällt, so hat man bereits einen Körper mit Elementen gefunden. Es gibt aber generell zu jedem Körper und jedem Polynom einen Erweiterungskörper, über dem das Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
Es sei ein Körper und ein Polynom aus .
Dann gibt es einen Erweiterungskörper derart, dass über in Linearfaktoren zerfällt.
Es sei die Zerlegung in Primpolynome in , und sei nicht linear. Dann ist
eine Körpererweiterung von nach Fakt. Wegen in ist die Restklasse von in eine Nullstelle von . Daher gilt nach Fakt in die Faktorisierung , wobei einen kleineren Grad als hat. Das Polynom hat also über mindestens einen Linearfaktor mehr als über . Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen , die stationär wird, sobald in Linearfaktoren zerfällt.
Es sei eine Primzahl und .
Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit Elementen.
Existenz. Wir wenden Fakt auf den Grundkörper und das Polynom an und erhalten einen Körper der Charakteristik , über dem in Linearfaktoren zerfällt. Nach Fakt gibt es dann einen Unterkörper von , der aus genau Elementen besteht.
Eindeutigkeit. Es seien und zwei Körper mit Elementen. Es sei ein primitives Element, das nach Fakt existiert. Daher ist , wobei das Minimalpolynom von ist. Da die Ordnung besitzt, gilt für jede Einheit und damit überhaupt für alle . D.h., dass jedes Element von eine Nullstelle von ist und dass daher über in Linearfaktoren zerfällt. Da insbesondere ist, muss das Minimalpolynom ein Teiler von sein, also . Nun zerfällt (aus den gleichen Gründen) das Polynom auch über und insbesondere hat eine Nullstelle . Der Einsetzungshomomorphismus liefert einen Ringhomomorphismus
Da beides Körper sind, muss dieser injektiv sein. Da links und rechts jeweils -elementige Mengen stehen, muss er auch surjektiv sein.
Es sei eine Primzahl und . Der aufgrund von Fakt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit Elementen wird mit
bezeichnet.