Endomorphismus/Algebraische Vielfachheit/Einführung/Textabschnitt

Für eine genauere Untersuchung der Eigenräume ist die folgende Begrifflichkeit sinnvoll.

Definition

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ und ${}\lambda \in K$. Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms ${}X-\lambda$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{\varphi }$ die algebraische Vielfachheit von ${}\lambda$. Sie wird mit

${}\mu _{\lambda }=\mu _{\lambda }(\varphi )\,$

bezeichnet.

Wie neulich eingeführt, nennt man

$\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$

die geometrische Vielfachheit von ${}\lambda$. Aufgrund von Fakt wissen wir, dass die eine Vielfachheit genau dann positiv ist, wenn dies für die andere gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}\lambda$ ein Eigenwert ist.

Im Allgemeinen können die beiden Vielfachheiten aber verschieden sein, wobei eine Abschätzung immer gilt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$.

Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung

${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\leq \mu _{\lambda }(\varphi )\,.$

Beweis

Sei ${}m=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch ${}w_{1},\ldots ,w_{n-m}$ zu einer Basis von ${}V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt

${\begin{pmatrix}\lambda E_{m}&B\\0&C\end{pmatrix}}.$

Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe gleich ${}(X-\lambda )^{m}\cdot \chi _{C}$, sodass die algebraische Vielfachheit mindestens ${}m$ ist.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten ${}2\times 2$-Scherungsmatrizen

${}M={\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\,$

mit ${}a\in K$. Das charakteristische Polynom ist

${}\chi _{M}=(X-1)(X-1)\,,$

sodass ${}1$ der einzige Eigenwert von ${}M$ ist. Den zugehörigen Eigenraum berechnet man als

${}\operatorname {Eig} _{1}{\left(M\right)}=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}\,.$

Aus

${}{\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-as\\0\end{pmatrix}}\,$

folgt, dass ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor ist, und dass bei ${}a\neq 0$ der Eigenraum eindimensional ist (bei ${}a=0$ liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional). Bei ${}a\neq 0$ ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts ${}1$ gleich ${}2$, die geometrische Vielfachheit gleich ${}1$.