Endomorphismus/Minimalpolynom/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt das eindeutig bestimmte normierte Polynom ${}\mu _{f}\in K[X]$ minimalen Grades mit

${}\mu _{f}(f)=0\,$

das Minimalpolynom von ${}f$.

Korollar

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist die Menge

${\left\{P\in K[X]\mid P(f)=0\right\}}$

ein Hauptideal im Polynomring ${}K[X]$, das vom Minimalpolynom ${}\mu _{f}$ erzeugt wird.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Beispiel

Zur Identität ${}\operatorname {Id} _{V}$ auf einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ ist das Minimalpolynom gleich ${}X-1$. Dieses geht ja unter dem Einsetzungshomomorphismus auf

${}\operatorname {Id} _{V}-\operatorname {Id} _{V}=0\,.$

Ein konstantes Polynom ${}a_{0}$ geht auf ${}a_{0}\operatorname {Id}$, was, außer bei ${}a_{0}=0$ oder ${}V=0$, nicht die Nullabbildung ist.

Für eine Streckung, also eine Abbildung der Form ${}\lambda \operatorname {Id} _{V}$, ist das Minimalpolynom, vorausgesetzt ${}\lambda \neq 0$ und ${}V\neq 0$, gleich ${}X-\lambda$. Für die Nullabbildung auf ${}V\neq 0$ ist ${}X$ das Minimalpolynom, bei ${}V=0$ ist es das konstante Polynom ${}1$.

Beispiel

Zu einer Diagonalmatrix

${}M={\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}\,$

mit verschiedenen Einträgen ${}d_{i}$ ist das Minimalpolynom gleich

${}P=(X-d_{1})(X-d_{2})\cdots (X-d_{n})\,.$

Dieses Polynom geht unter der Einsetzung auf

$(M-d_{1}E_{n})\circ (M-d_{2}E_{n})\circ (M-d_{n}E_{n}).$

Wenden wir darauf den Standardvektor ${}e_{i}$ an, so wird er von dem Faktor ${}(M-d_{j}E_{n})$ auf ${}(d_{i}-d_{j})e_{i}$ abgebildet. Der ${}i$-te Faktor sichert also, dass ${}e_{i}$ insgesamt annulliert wird. Da somit eine Basis durch ${}P(M)$ auf ${}0$ abgebildet wird, muss es sich insgesamt um die Nullabbildung handeln.

Angenommen, ${}P$ wäre nicht das Minimalpolynom ${}\mu$. Dann gibt es nach Fakt ein Polynom ${}Q$ mit

${}P=Q\mu \,$

und nach Fakt muss ${}\mu$ ein Teilprodukt der Linearfaktoren von ${}P$ sein. Sobald man aber einen Faktor von ${}P$ weglässt, sagen wir ${}X-d_{i}$, so wird ${}e_{i}$ durch die zugehörige Abbildung nicht mehr annulliert.

Beispiel

Zur Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,$

ist ${}X^{2}$ das Minimalpolynom. Dieses Polynom wird beim Einsetzen zur Nullabbildung, wegen

${}M^{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$

Die Teiler von ${}X^{2}$ von kleinerem Grad sind konstante Polynome ${}\neq 0$ und ${}a_{1}X$ mit ${}a_{1}\neq 0$, aber diese Polynome annullieren nicht ${}M$.