Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Textabschnitt

Wir besprechen nun Isometrien von einem euklidischen Vektorraum in sich selbst. Diese sind stets bijektiv. Bezüglich einer jeden Orthonormalbasis von ${}V$ werden sie folgendermaßen beschrieben.

Lemma

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}M$ die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn

${}{M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

ist.

Beweis

Es sei zunächst ${}\varphi$ eine Isometrie. Dann ist ${}v_{i}=\varphi (u_{i})$ eine Orthonormalbasis nach Fakt, und deren Koordinaten bezüglich ${}u_{i}$ bilden die Spalten der beschreibenden Matrix ${}M$. Daher ist unter Verwendung von Aufgabe

${}{v_{i}^{\text{tr}}}v_{j}=\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.$

Als Matrixgleichung bedeutet dies

${}{M^{\text{tr}}}M={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$

Das Argument rückwärts gelesen ergibt die Umkehrung.

$\Box$

Die Menge der Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum bildet eine Gruppe, und zwar eine Untergruppe der Gruppe aller bijektiven linearen Abbildungen. Wir erinnern kurz an die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe.

Zu einem Körper ${}K$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ nennt man die Menge aller invertierbaren ${}n\times n$-Matrizen mit Einträgen in ${}K$ die allgemeine lineare Gruppe über ${}K$. Sie wird mit ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.

Zu einem Körper ${}K$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ nennt man die Menge aller invertierbaren ${}n\times n$-Matrizen mit

${}\det M=1\,$

die spezielle lineare Gruppe über ${}K$. Sie wird mit ${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}E_{n}$ die Einheitsmatrix der Länge ${}n$. Eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ mit

${}{M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

heißt orthogonale Matrix. Die Menge aller orthogonalen Matrizen heißt orthogonale Gruppe, sie wird mit

${}\operatorname {O} _{n}\!{\left(K\right)}={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\mid {M^{\text{tr}}}M=E_{n}\right\}}\,$

bezeichnet.

Definition

Eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit

${}{{\overline {M}}^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

heißt unitäre Matrix. Die Menge aller unitären Matrizen heißt unitäre Gruppe, sie wird mit

${}\operatorname {U} _{n}\!={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\mid {{\overline {M}}^{\text{tr}}}M=E_{n}\right\}}\,$

bezeichnet.