Funktionsfamilie/Summierbarkeit/Einführung/Textabschnitt

Siehe auch Funktionenfolgen/K/Einführung/Textabschnitt.

In verschiedenen Kontexten gibt es unendliche Summen von Funktionen, wo die Indexmenge nicht oder zumindest nicht in natürlicher Weise durch die natürlichen Zahlen gegeben ist. In diesem Fall möchte man einen Summierbarkeitsbegriff haben, der ohne eine willkürliche Festlegung der Summationsreihenfolge auskommt.

Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, ${}i\in I$, eine Familie von Funktionen auf ${}T$. Man sagt, dass die Familie gleichmäßig summierbar ist, wenn es eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

mit der Eigenschaft gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Beziehung

${}\Vert {f_{E}-f}\Vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist ${}f_{E}=\sum _{i\in E}f_{i}$.

In diesem Fall ist für jedes ${}P\in T$ die Familie ${}f_{i}(P)$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie von Zahlen aus ${}{\mathbb {K} }$, und zwar ist ${}f(P)$ die Summe der Familie. Insbesondere ist eine gleichmäßig summierbare Funktionenfamilie punktweise summierbar, und ${}f$ ist die Summe der Familie.

Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, ${}i\in I$, eine Familie von beschränkten Funktionen auf ${}T$. Man sagt, dass die Familie normal summierbar ist, wenn die Familie von reellen Zahlen ${}\Vert {f_{i}}\Vert$, ${}i\in I$, summierbar ist.

Das folgende Kriterium heißt Weierstraßscher ${}M$-Test

Lemma

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, ${}i\in I$, eine Familie von Funktionen auf ${}T$. Es gebe eine summierbare Familie ${}M_{i}$, ${}i\in I$, von reellen Zahlen mit

${}\vert {f_{i}(P)}\vert \leq M_{i}\,$

für alle ${}P\in T$.

Dann ist die Funktionsfamilie gleichmäßig summierbar.

Beweis

Nach Aufgabe und Aufgabe ist für jedes ${}P\in T$ die Familie ${}f_{i}(P)$, ${}i\in I$, summierbar und somit gibt es eine punktweise definierte Summenfunktion ${}f$. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Nach Voraussetzung gibt es aufgrund der Cauchy-Eigenschaft eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung ${}\vert {M_{D}}\vert =\sum _{i\in D}M_{i}\leq \epsilon /3$ gilt. Dann ist für diese ${}D$ auch

${}\Vert {f_{D}}\Vert =\Vert {\sum _{i\in D}f_{i}}\Vert \leq \sum _{i\in D}\Vert {f_{i}}\Vert \leq \sum _{i\in D}M_{i}\leq \epsilon /3\,.$

Insbesondere ist

${}\vert {f_{D}(P)}\vert \leq \epsilon /3\,$

und nach dem Beweis zu Fakt ist

${}\vert {f_{E_{0}}(P)-f(P)}\vert \leq 2\epsilon /3\,.$

Somit ist für ${}E_{0}\subseteq E$ und mit ${}D=E\setminus E_{0}$

${}\Vert {f_{E}-f}\Vert =\Vert {f_{E_{0}}+f_{D}-f}\Vert \leq \Vert {f_{E_{0}}-f}\Vert +\Vert {f_{D}}\Vert \leq \epsilon \,.$

$\Box$

Die Abschätzungen dieses Tests kann man auch als ${}\Vert {f_{i}}\Vert \leq M_{i}$ ausdrücken. Die Aussage bedeutet insbesondere, dass eine normal summierbare Funktionenfamilie gleichmäßig summierbar ist. Ferner gilt die gleichmäßige Summierbarkeit auch dann, wenn diese Abschätzungen bis auf endlich viele Ausnahmen gelten.

Definition

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ und ${}f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, ${}i\in I$, eine Familie von Funktionen auf ${}T$. Man sagt, dass die Familie lokal gleichmäßig summierbar ist, wenn es zu jedem Punkt ${}P\in T$ eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq T$ derart gibt, dass die eingeschränkte Familie ${}f_{i}{|}_{U}$, ${}i\in I$, gleichmäßig summierbar ist.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ und ${}f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, ${}i\in I$, eine Familie von stetigen Funktionen, die lokal gleichmäßig summierbar sei.

Dann ist die Summe ${}\sum _{i\in I}f_{i}$ ebenfalls stetig.

Beweis

Da stetig eine lokale Eigenschaft ist, können wir direkt annehmen, dass die Familie gleichmäßig summierbar ist. Sei ${}P\in T$ fixiert und sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es sei ${}E$ endlich mit

${}\Vert {f_{E}-f}\Vert \leq \epsilon /3\,.$

Als endliche Summe von stetigen Funktionen ist ${}f_{E}$ stetig. Es gibt also ein ${}\delta >0$ derart, dass für alle ${}Q\in T$ mit ${}\vert {P-Q}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f_{E}(P)-f_{E}(Q)}\vert \leq \epsilon /3$ gilt. Für diese ${}Q$ ist dann

${}\vert {f(P)-f(Q)}\vert \leq \vert {f_{E}(P)-f(P)}\vert +\vert {f_{E}(P)-f_{E}(Q)}\vert +\vert {f_{E}(Q)-f(Q)}\vert \leq \epsilon \,.$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ ein Gebiet und ${}f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, ${}i\in I$, eine Familie von differenzierbaren Funktionen. Die Familie ${}f_{i}$, ${}i\in I$, sei lokal gleichmäßig summierbar und es gebe einen Punkt ${}P\in T$, für den ${}f_{i}(P)$, ${}i\in I$, summierbar sei.

Dann ist ${}f_{i}$, ${}i\in I$, lokal gleichmäßig summierbar, die Summe ${}\sum _{i\in I}f_{i}$ ist differenzierbar und ihre Ableitung ist ${}\sum _{i\in I}f_{i}'$.

Beweis

Differenzierbare Funktionsfamilie/Ableitung lokal gleichmäßig summierbar/Fakt/Beweis

$\Box$