Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Weierstraßsche p Funktion/Textabschnitt
Es sei ein Gitter.
Dann nimmt die Weierstraßsche -Funktion zu auf der halboffenen Grundmasche jeden Wert (mit Vielfachheit gezählt) zweifach an.
Es sei , wir betrachten die Funktion , es geht um die Nullstellen dieser Funktion. Da es auf einer verschobenen kompakten Masche
nur endlich viele Nullstellen gibt, kann man so wählen, dass es auf den Rand weder eine Nullstelle noch einen Pol gibt. Es gibt dann in nach Fakt genau eine Polstelle mit der Ordnung . Nach Fakt muss es zwei Nullstellen mit Ordnung oder eine Nullstelle mit der Ordnung geben.
Es sei ein Gitter und sei eine gerade elliptische Funktion. Es sei ein Punkt mit .
Dann ist die Ordnung von in gerade.
Die Bedingung ist zu äquivalent. Für jede elliptische Funktion gilt daher . Es sei eine gerade elliptische Funktion . Durch Übergang zu können wir davon ausgehen, dass in holomorph ist. Aus folgt mit Aufgabe, dass die Ableitungen von abwechselnd gerade bzw. ungerade elliptische Funktionen sind. Für ungerade hat man dann einerseits und andererseits , also . Also ist die Ordnung in einem solchen Punkt gerade.
Für die Weierstraßsche Funktion bedeutet dies, dass die Ordnung in den Punkten mit
,
,
gleich ist, und in allen anderen Punkten gleich .
Es sei ein Gitter.
Dann wird der Körper der elliptischen Funktionen von und erzeugt, d.h. jede elliptische Funktion kann man als eine rationale Funktion in und schreiben.
Jede elliptische Funktion kann man als eine Summe einer geraden und einer ungeraden elliptischen Funktion schreiben, siehe Aufgabe. Eine ungerade elliptische Funktion kann man mit multiplizieren und erhält eine gerade elliptische Funktion. Es genügt also zu zeigen, dass jede gerade elliptische Funktion eine rationale Funktion in ist.
Es sei , die zugehörige Fundamentalmasche und . Es seien die Punkte in , in denen eine Pol- oder eine Nullstelle von vorliegt. Wir betrachten die elliptische Funktion
wobei die Ordnung von in ist, es sei denn, dass ist, in diesem Fall ist die Hälfte der nach Fakt geraden Ordnung von in . Diese Funktion besitzt überall außer eventuell im Nullpunkt die gleichen Ordnungen wie , da in die Ordnung besitzt, mit den Ausnahmen für die Punkte mit , wo die Ordnung ist. Aus Fakt folgt dann, dass auch im Nullpunkt die Ordnungen gleich sind. Daher ist holomorph und somit nach Fakt konstant. Daher ist , da nach Konstruktion dazugehört.