Graduierte kommutative Ringe/Beliebige Gruppe/Beziehung zur Charaktergruppe/Textabschnitt
Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra.
Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus
der Charaktergruppe von in die (homogene) -Automorphismengruppe von .
Wenn alle sind, so ist diese Zuordnung injektiv.
Zu jedem Charakter
definierte Abbildung mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente und aus
woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für
(und insbesondere für
)
ist ferner
,
sodass ein
-Algebrahomomorphismus
vorliegt.
Der triviale
(konstante)
Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere gegeben. Für ein homogenes Element ist
sodass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch
sodass jedes ein
-Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Die
Injektivität
ergibt sich unter Verwendung von
Fakt
folgendermaßen. Bei
gibt es ein
mit
.
Nach Voraussetzung ist
sei also
, .
Damit ist
,
da eine
Einheit
ist. Also ist
.
Aufgrund dieses Lemmas operiert also die Charaktergruppe zur graduierenden Gruppe auf als Gruppe von
(homogenen)
-Algebraautomorphismen.
Der zugehörige Invariantenring zu dieser Operation fällt unter schwachen Bedingungen mit dem Ring der neutralen Stufe der Graduierung zusammen.
Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Zu jedem , , gebe es einen Charakter mit
Dann ist der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe auf .
Für ein Element und einen beliebigen Charakter ist offenbar
sodass ist. Da die Operation der Charaktergruppe homogen ist, sind die homogenen Komponenten eines invarianten Elements ebenfalls invariant. Es sei und . Aufgrund der Voraussetzung gibt es einen Charakter
mit . Dann ist
also sind solche Elemente nicht invariant.
Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Der Körper enthalte hinreichend viele Einheitswurzeln, sodass die Charaktergruppe von isomorph zu sei.
Dann ist der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe auf .
Beweis
Es sei ein Körper der positiven Charakteristik und der Polynomring sei durch über graduiert. Die neutrale Stufe ist offenbar . Die Charaktergruppe zu ist aber trivial, da es wegen
neben der keine weiteren -ten Einheitswurzeln in gibt. Damit ist natürlich auch die induzierte Operation trivial und der Invariantenring ist .