Graduierte kommutative Ringe/Beliebige Gruppe/Beziehung zur Charaktergruppe/Textabschnitt


Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra.

Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus

der Charaktergruppe von in die (homogene) -Automorphismengruppe von .

Wenn alle sind, so ist diese Zuordnung injektiv.

Zu jedem Charakter

ist die durch

definierte Abbildung mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente und aus

woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für (und insbesondere für ) ist ferner , sodass ein -Algebrahomomorphismus vorliegt.
Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere gegeben. Für ein homogenes Element ist

sodass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch

sodass jedes ein -Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist.
Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Fakt folgendermaßen. Bei gibt es ein mit . Nach Voraussetzung ist

sei also , . Damit ist , da eine Einheit ist. Also ist .


Aufgrund dieses Lemmas operiert also die Charaktergruppe zur graduierenden Gruppe auf als Gruppe von (homogenen) -Algebraautomorphismen. Der zugehörige Invariantenring zu dieser Operation fällt unter schwachen Bedingungen mit dem Ring der neutralen Stufe der Graduierung zusammen.



Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Zu jedem , , gebe es einen Charakter mit

Dann ist der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe auf .

Für ein Element und einen beliebigen Charakter ist offenbar

sodass ist. Da die Operation der Charaktergruppe homogen ist, sind die homogenen Komponenten eines invarianten Elements ebenfalls invariant. Es sei und . Aufgrund der Voraussetzung gibt es einen Charakter

mit . Dann ist

also sind solche Elemente nicht invariant.



Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Der Körper enthalte hinreichend viele Einheitswurzeln, sodass die Charaktergruppe von isomorph zu sei.

Dann ist der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe auf .

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.



Es sei ein Körper der positiven Charakteristik und der Polynomring sei durch über graduiert. Die neutrale Stufe ist offenbar . Die Charaktergruppe zu ist aber trivial, da es wegen

neben der keine weiteren -ten Einheitswurzeln in gibt. Damit ist natürlich auch die induzierte Operation trivial und der Invariantenring ist .