Gruppe/Lineare Operation auf Vektorraum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}G$ eine Gruppe. Eine Operation

$\mu \colon G\times V\longrightarrow V$

heißt linear, wenn für jedes ${}\sigma \in G$ die Abbildung

$V\longrightarrow V,\,v\longmapsto \mu (\sigma ,v),$

${}K$-linear ist.

Bei einer linearen Operation sind die Abbildungen ${}\varphi _{\sigma }=\mu (\sigma ,-)$ sogar ${}K$-Automorphismen. Eine lineare Operation ist das gleiche wie ein Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}.$

Beispiel

Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum über einem Körper ${}K$. Die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ operiert in natürlicher Weise linear auf ${}V$. Die Elemente ${}\varphi \in \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ sind ja definiert als ${}K$-Automorphismen von ${}V$ in sich und somit ist die Abbildung

$\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}\times V\longrightarrow V,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v),$

wohldefiniert. Da die Verknüpfung auf ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ einfach die Hintereinanderschaltung von Abbildungen ist, ergibt sich sofort

${}\varphi (\psi (v))=(\varphi \circ \psi )(v)\,,$

sodass es sich um eine Gruppenoperation handelt. Diese Operation besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt ${}0$ und ${}V\setminus \{0\}$, da es zu zwei von ${}0$ verschiedenen Vektoren ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ stets einen Automorphismus gibt, der ${}v_{1}$ in ${}v_{2}$ überführt.

Beispiel

Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum über einem Körper ${}K$. Die natürliche lineare Operation der allgemeinen linearen Gruppe ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ auf ${}V$, also die Abbildung

$\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}\times V\longrightarrow V,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v),$

induziert für jede Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ eine lineare Operation

$G\times V\longrightarrow V,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v).$

Diese einfache Konstruktion beinhaltet eine Vielzahl von interessanten Operationen. Wichtige Untergruppen der ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ sind die spezielle lineare Gruppe ${}\operatorname {SL} _{}{\left(V\right)}$ (dazu muss ${}V$ endlichdimensional sein) und alle endlichen Gruppen (wenn die Dimension von ${}V$ hinreichend groß ist). Wenn der Vektorraum weitere Strukturen trägt, beispielsweise eine Bilinearform (beispielsweise ein Skalarprodukt bei ${}K=\mathbb {R}$ oder ${}K={\mathbb {C} }$), so lassen sich weitere wichtige Untergruppen definieren, wie die orthogonale Gruppe ${}\operatorname {O} _{}{\left(V\right)}$ und die eigentliche Isometriegruppe ${}\operatorname {SO} _{}\,(V)$.

Beispiel

Die symmetrische Gruppe ${}S_{n}$ ist die Gruppe der Permutationen auf der Menge ${}I={\{1,\ldots ,n\}}$, also

${}S_{n}={\left\{\sigma :I\rightarrow I\mid \sigma {\text{ Bijektion}}\right\}}\,$

mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung. Das neutrale Element ist die Identität. Eine Permutation wird typischerweise als Wertetabelle geschrieben,

${\begin{pmatrix}1&\ldots &n\\\sigma (1)&\ldots &\sigma (n)\end{pmatrix}}.$

${}S_{n}$ ist eine Gruppe mit ${}n!$ Elementen.

Die Permutationsgruppe ${}S_{n}$ operiert als Gruppe von linearen Automorphismen auf ${}K^{n}$ wie folgt: Der ${}i$-te Basisvektor ${}e_{i}$ wird auf ${}e_{\sigma (i)}$ geschickt, also ${}e_{i}\mapsto e_{\sigma (i)}$. Dies definiert nach Fakt einen linearen Automorphismus

$\sigma \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},$

den wir ebenfalls mit ${}\sigma$ bezeichnen. In Matrizenschreibweise wird diese lineare Abbildung durch diejenige Matrix beschrieben, bei der in der ${}i$-ten Spalte in der ${}\sigma (i)$-ten Zeile eine ${}1$ steht, und sonst überall ${}0$. Eine solche Matrix nennt man eine Permutationsmatrix. Wenn ${}E_{ij}$ diejenige Matrix bezeichnet, die genau an der Stelle ${}ij$ (${}i$-te Zeile, ${}j$-te Spalte) eine ${}1$ und sonst überall eine ${}0$ als Eintrag besitzt, so ist die zu ${}\sigma$ gehörende Permutationsmatrix gleich

${}E_{\sigma }=\sum _{j=1}^{n}E_{\sigma (j)j}\,.$

Diese Matrix ist in gewissem Sinn der Graph der Permutation.

Die Menge der Permutationsmatrizen bilden eine endliche Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$, und die Zuordnung ${}\sigma \mapsto E_{\sigma }$ ist ein Gruppenisomorphismus zwischen der Permutationsgruppe ${}S_{n}$ und dieser endlichen Untergruppe. Nach Beispiel operiert die Permutationsgruppe ${}S_{n}$ linear auf dem ${}K^{n}$.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G$ eine Gruppe, die auf einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ linear operiere. Ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ heißt ${}G$-invariant, wenn für alle ${}\sigma \in G$ und alle ${}v\in U$ auch ${}\sigma v\in U$ ist.

Dies kann man auch so ausdrücken, dass jede zu ${}\sigma \in G$ gehörende Abbildung ${}\varphi _{\sigma }$ den Unterraum ${}U$ in sich selbst abbildet. D.h. ${}U$ ist ${}\varphi _{\sigma }$-invariant für jedes ${}\sigma \in V$. Bei endlichdimensionalem ${}V$ ist dann sogar stets

${}\varphi _{\sigma }(U)=U\,.$

Die Operation lässt sich in natürlicher Weise auf einen jeden invarianten Unterraum einschränken. Man nennt diese Räume daher auch einfach ${}G$-Räume.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G$ eine Gruppe, die auf einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ linear operiere. Der Untervektorraum

${\left\{v\in V\mid \sigma v=v{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}$

heißt der Fixraum der Gruppenoperation.

Der Fixraum ist einfach die Menge aller Fixpunkte der Operation. Er ist ein ${}G$-invarianter Untervektorraum.