Hauptachsentransformation/Einführung/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei ${}\Psi$ eine hermitesche Form auf ${}V$, die dem selbstadjungierten Endomorphismus

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

im Sinne von Fakt entspricht. Es sei ${}(p,q)$ der Typ von ${}\Psi$.

Dann ist ${}p$ die Anzahl der positiven Eigenwerte und ${}q$ die Anzahl der negativen Eigenwerte von ${}\varphi$, wobei man diese Anzahl mit der (algebraischen oder geometrischen) Vielfachheit nehmen muss.

Beweis

Nach Fakt zerfällt das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ in reelle Linearfaktoren. Es seien ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}$ die positiven Nullstellen und ${}\lambda _{r+1},\ldots ,\lambda _{s}$ die negativen Nullstellen. Nach Fakt liegt eine direkte, bezüglich des Skalarproduktes orthogonale Summenzerlegung

$V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{r}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{r+1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{s}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\,$

vor (wobei ${}\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}$ der Nullraum sein kann). Für Vektoren ${}v_{i}$ und ${}v_{j}$ aus verschiedenen Eigenräumen ist

${}\Psi (v_{i},v_{j})=\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle =\left\langle \lambda _{i}v_{i},v_{j}\right\rangle =\lambda _{i}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0\,,$

sodass die Eigenräume auch bezüglich der Form ${}\Psi$ orthogonal sind. Für

${}v=v_{1}+\cdots +v_{r}\neq 0\,$

mit ${}v_{i}\in \operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}$ ist

${}{\begin{aligned}\Psi (v,v)&=\Psi (v_{1},v_{1})+\cdots +\Psi (v_{r},v_{r})\\&=\Psi _{\varphi }(v_{1},v_{1})+\cdots +\Psi _{\varphi }(v_{r},v_{r})\\&=\left\langle \varphi (v_{1}),v_{1}\right\rangle +\cdots +\left\langle \varphi (v_{r}),v_{r}\right\rangle \\&=\left\langle \lambda _{1}v_{1},v_{1}\right\rangle +\cdots +\left\langle \lambda _{r}v_{r},v_{r}\right\rangle \\&=\lambda _{1}\left\langle v_{1},v_{1}\right\rangle +\cdots +\lambda _{r}\left\langle v_{r},v_{r}\right\rangle \\&>0.\end{aligned}}$

Auf diesem Unterraum ist also die eingeschränkte Form positiv definit, sodass

${}p\geq \sum _{i=1}^{r}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

ist. Wäre ${}p$ echt größer als diese Dimension, so würde es einen ${}p$-dimensionalen Untervektorraum ${}W\subseteq V$ derart geben, dass die Einschränkung von ${}\Psi$ darauf positiv definit ist und so, dass nach Fakt

${}W\cap {\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{r+1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{s}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\right)}\neq 0\,$

ist. Dies ergibt direkt einen Widerspruch, da auf dem rechten Raum die Form ${}\Psi$ negativ semidefinit ist. Also ist

${}p=\sum _{i=1}^{r}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,.$

Die Argumentation für ${}q$ verläuft gleich.

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Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei ${}\Psi$ eine hermitesche Form auf ${}V$.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis von ${}V$ (bezüglich des Skalarproduktes), die eine Orthogonalbasis bezüglich ${}\Psi$ ist.

Beweis

Nach Fakt  (2) und Fakt  (4) ist

${}\Psi =\Psi _{\varphi }\,$

für einen selbstadjungierten Endomorphismus

$\varphi \colon V\longrightarrow V.$

Nach Fakt gibt es eine Orthonormalbasis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$ mit den Eigenwerten ${}\lambda _{i}$. Für diese Basis gilt

${}\Psi (v_{i},v_{j})=\Psi _{\varphi }(v_{i},v_{j})=\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle =\left\langle \lambda _{i}v_{i},v_{j}\right\rangle =\lambda _{i}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle \,.$

Daher liegt auch eine Orthogonalbasis bezüglich ${}\Psi$ vor.

$\Box$