Hilbertraum/Vollständiges Orthonormalsystem/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Orthonormalsystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, in einem ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt heißt vollständig oder eine Hilbertbasis, wenn der von den ${}v_{i}$ erzeugte Untervektorraum dicht in ${}V$ ist.

Die folgende Aussage heißt Besselsche Abschätzung.

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Orthonormalsystem.

Dann ist für jeden Vektor ${}v\in V$ die Familie ${}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}$, ${}i\in I$, summierbar und es gilt

${}\sum _{i\in I}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\leq \Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

Beweis

Für jede endliche Teilmenge ${}E\subseteq I$ schreiben wir

${}v=\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}+w\,$

(dabei ist ${}w$ orthogonal zu ${}\langle v_{i},i\in E\rangle$ und hängt von ${}E$ ab) und erhalten aufgrund der Orthogonalitätsbeziehungen

${}{\begin{aligned}\sum _{i\in E}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}&=\sum _{i\in E}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle \\&\leq \sum _{i\in E}\left\langle \left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i},\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}+w,\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}+w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}.\end{aligned}}$

Nach Aufgabe ist die Familie summierbar und ihre Summe ist durch ${}\Vert {v}\Vert ^{2}$ beschränkt.

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Korollar

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Orthonormalsystem.

Dann ist zu einem Vektor ${}v\in V$ die Vektorenfamilie ${}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}$, ${}i\in I$, summierbar.

Beweis

Für jede endliche Teilmenge ${}E\subseteq I$ ist

${}\Vert {\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}}\Vert ^{2}=\sum _{i\in E}\Vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}}\Vert ^{2}=\sum _{i\in E}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\,,$

was nach Fakt durch ${}\Vert {v}\Vert ^{2}$ beschränkt ist. Daher ist die Familie eine Cauchy-Familie und somit wegen der Vollständigkeit des Raumes nach Fakt summierbar.

$\Box$

Im Allgemeinen gibt es keinen direkten Zusammenhang zwischen ${}v$ und ${}\sum _{i\in I}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}$, man denke etwa an kleine Orthonormalsysteme. Der folgende Satz charakterisiert die vollständigen Orthonormalsysteme.

Satz

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Orthonormalsystem. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Familie ist vollständig.
2. Für jedes ${}v\in V$ gilt

   ${}v=\sum _{i\in I}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\,.$

3. Für jedes ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {v}\Vert ^{2}=\sum _{i\in I}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\,.$

Beweis

Von (1) nach (2). Die Vollständigkeit des Orthonormalsystems bedeutet, dass es zu jedem Vektor ${}v\in V$ und jedem ${}\epsilon >0$ ein Koeffiziententupel ${}a_{i}$ mit einer endlichen Trägermenge ${}E\subseteq I$ mit

${}\Vert {v-\sum _{i\in E}a_{i}v_{i}}\Vert \leq \epsilon \,$

gibt. Nach Fakt erfüllt erst recht ${}\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}$ diese Eigenschaft. Dies heißt aber, dass die Summe ${}\sum _{i\in I}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}$ gleich ${}v$ ist. Von (2) nach (1) ergibt sich aus Fakt.

Zum Nachweis der Äquivalenz von (2) und (3) ziehen wir für eine endliche Teilmenge ${}E\subseteq I$ die Gleichung

${}\Vert {v-\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}}\Vert ^{2}=\Vert {v}\Vert ^{2}-\sum _{i\in E}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\,$

heran. (2) bedeutet, dass die linke Seite beliebig klein wird, (3) bedeutet, dass die rechte Seite beliebig klein wird, daher sind die Eigenschaften äquivalent.

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Die Gleichung in (3) des vorstehenden Satzes nennt man auch Parsevalsche Gleichung.

Lemma

Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Orthonormalsystem in einem ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraum ${}V$.

Dann kann man das System zu einem vollständigen Orthonormalsystem ergänzen.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Bemerkung  

In einem ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt kann man ein gegebenes System von linear unabhängigen Vektoren ${}v_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, mit Hilfe des Orthonomalisierungsverfahrens im endlichdimensionalen Fall in ein abzählbar unendliches Orthonormalsystem überführen. Speziell kann man in einem separablen Hilbertraum aus jeder linear unabhängigen Familie, die einen dichten Untervektorraum erzeugt, ein abzählbares vollständiges Orthonormalsystem gewinnen.

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein vollständiges Orthonormalsystem. Dann nennt man zu ${}v\in V$ die Darstellung

${}v=\sum _{i\in I}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\,$

die Fourierentwicklung von ${}v$ und die rechte Seite eine Fouriersumme. Die Koeffizienten ${}\left\langle v,v_{i}\right\rangle$ heißen Fourierkoeffizienten.

Im separablen Fall, wenn das vollständige Orthonormalsystem abzählbar ist und durch ${}v_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, (oder ${}\mathbb {Z}$ als geordnete Indexmenge) gegeben ist, so nennt man die Darstellung

${}v=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left\langle v,v_{n}\right\rangle v_{n}\,$

auch die Fourierreihe zu ${}v$ bezüglich des gegebenen Systems. Die Sprechweise wird insbesondere bei periodischen Funktionen der Periodenlänge ${}1$ mit dem trigonometrischen Orthonormalsystem verwendet, siehe insbesondere Fakt. Bei anderer Periodenlänge ist der Sprachgebrauch nicht einheitlich.