Invariantentheorie/Galoistheorie/Beziehung für Integritätsbereich/Textabschnitt
Es sei eine Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Der Invariantenring ist ein Integritätsbereich.
- Die Operation induziert eine Operation von auf dem Quotientenkörper als Gruppe von Körperautomorphismen.
- Es ist .
- Es ist
(1) ist wegen
klar.
(2). Es sei
der
Quotientenkörper
von . Zu jedem
setzt sich der
Ringautomorphismus
aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme
zu einem
Körperautomorphismus
fort.
(3). Ein Element aus dem Quotientenkörper hat die Form mit invarianten Elementen
.
Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf . Daher gilt
.
(4). Die Inklusion
ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von auf eingeschränkt auf die ursprüngliche Operation ist. Wenn also
ist und aufgefasst in invariant ist, so ist es überhaupt invariant.
Bei einer endlichen Gruppe gilt in
Fakt (3)
sogar Gleichheit, wie die folgende Aussage zeigt.
Es sei eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.
Dann ist
Die Inklusion gilt nach Fakt (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien , , mit gegeben. Wir betrachten
Dann gelten in die Identitäten
Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner (siehe Aufgabe) invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist .
Es sei ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf die Operation von durch skalare Multiplikation. Zu gehört also der durch gegebene -Algebrahomomorphismus. Der Invariantenring dazu ist , also ein Körper. Der Quotientenkörper von ist der Funktionenkörper in zwei Variablen. Sein Invariantenring unter der Operation ist , also der Funktionenkörper in einer Variablen. In dieser Situation gilt also
Mit Fakt hängt die Invariantentheorie von Integritätsbereichen eng mit der Galoistheorie des Quotientenkörpers zusammen. In der Situation des Satzes ist bei endlichem die Körpererweiterung eine Galoiserweiterung, wie aus dem Satz von Artin folgt. ist ja gerade der Fixring unter den Körperautomorphismen zu . Die Untergruppen liefern Zwischenkörper und ist der zugehörige Zwischenring (man darf aber nicht erwarten, dass es eine bijektive Korrespondenz zwischen Zwischenringen und Untergruppen gibt). Häufig besitzen Aussagen der Invariantentheorie stärkere Analoga aus der Galoistheorie. Zu Fakt (3) vergleiche man etwa die Rückrichtung von Fakt (1).
Es gibt aber auch erhebliche Unterschiede zwischen Invariantentheorie und Galoistheorie. Beispielsweise geht man in der klassischen Galoistheorie eher von einem Grundkörper aus und untersucht Körpererweiterungen zusammen mit der -Automorphismengruppe, während man in der klassischen Invariantentheorie eher mit dem Erweiterungsring anfängt und versucht, die Fixringe zu einer gewissen Operation zu bestimmen. Auch in der Invariantentheorie wird häufig ein Grundkörper vorausgesetzt, doch tritt dieser kaum als Invariantenring auf, sondern übernimmt die Rolle, dass alle beteiligten Ringe -Algebren über diesem Körper und alle Ringhomomorphismen -Algebrahomomorphismen sind. Beispielsweise ist die Bestimmung von Invariantenringen zum Polynomring zu (linearen) Gruppenoperationen schon ein riesiges Teilgebiet der Invariantentheorie.