Zu einer
-Algebra
-
und einem Punkt
mit zugehörigem maximalen Ideal
und Lokalisierung
-
ist
-
und die Tensorierung
-
zur Restekörperauswertung
-
spielt eine besondere Rolle. Es ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Dualraum des
extrinsischen Tangentialraumes
von an . Das bedeutet, dass in natürlicher Weise der
Kotangentialraum
im Punkt ist.
Es sei ein
Körper,
-
eine
endlich erzeugte
-Algebra
und
ein Punkt des zugehörigen Nullstellengebildes mit zugehörigem maximalen Ideal
und
Lokalisierung
-
Dann ist der
Tangentialraum
zu in in kanonischer Weise der
duale Vektorraum
zu .
Es sei ein
Körper
und eine
lokale
kommutative
-Algebra
und es sei die Gesamtabbildung
-
ein
Isomorphismus.
Dann ist die Abbildung
-
ein
-Modulisomorphismus.
Nach
Fakt
liegt eine exakte Sequenz
-
von
-Modulhomomorphismen
vor. Nach Voraussetzung ist
und daher
.
Somit ist die angegebene Abbildung surjektiv. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die
-duale Abbildung,
also die Abbildung
-
und müssen zeigen, dass diese surjektiv ist
(es geht um Vektorräume).
Der linke Homomorphismenmodul ist nach
Fakt
und
Fakt
isomorph zu
-
Die Gesamtabbildung ordnet einer -Derivation
die Abbildung
-
zu. Es sei nun
-
ein -Modulhomomorphismus. Wir müssen zeigen, dass dies von einer Derivation herkommt. Dazu betrachten wir die Abbildung
-
wobei den Wert von im Restklassenkörper bezeichnet, den man über die Identifizierung
wieder in auffasst. Somit gehört
und die Abbildung ist wohldefiniert. Eine direkte Verifizierung ähnlich zum Beweis zu
Fakt
zeigt, dass es sich um eine Derivation handelt. Diese bildet auf ab.