Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Spektrumsabbildung/Textabschnitt

Lemma

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien ${}{\mathfrak {q}}_{0}\subseteq {\mathfrak {q}}_{1}$ Primideale in ${}R$ und ${}{\mathfrak {p}}_{0}$ ein Primideal in ${}S$ mit ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}$.

Dann gibt es ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{0}$ in ${}S$ mit ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})={\mathfrak {q}}_{1}$.

Beweis

Wir betrachten die injektive Abbildung

$R/{\mathfrak {q}}_{0}\longrightarrow S/{\mathfrak {p}}_{0},$

die nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass eine ganze Erweiterung ${}R\subseteq S$ von Integritätsbereichen vorliegt und müssen ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ finden, das auf ein vorgegebenes Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ runterschneidet. Wir lokalisieren ${}R$ an ${}{\mathfrak {q}}$ und ${}S$ an ${}R\setminus {\mathfrak {q}}\subseteq S$, wobei die induzierte Abbildung

$R_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$

nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass ${}R$ ein lokaler Integritätsbereich ist und ${}R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung. Wir suchen ein Primideal aus ${}S$, das auf das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ herunterschneidet.  Nehmen wir an, dass die Faser über ${}{\mathfrak {m}}$ leer ist. Dann ist nach Fakt das Erweiterungsideal ${}{\mathfrak {m}}S$ gleich dem Einheitsideal. Dann gibt es Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ und ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ mit ${}s_{1}f_{1}+\cdots +s_{n}f_{n}=1$. Diese Gleichung gilt auch im Unterring ${}T=R[s_{1},\ldots ,s_{n}]\subseteq S$. Die Erweiterung ${}R\subseteq T$ ist endlich erzeugt und ganz, also nach Fakt sogar endlich. Es ist ${}{\mathfrak {m}}T=T$ und damit ${}T/{\mathfrak {m}}T=0$. Aus dem Lemma von Nakayama folgt daraus ${}T=0$, ein Widerspruch.

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Lemma

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

surjektiv.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ vorgegeben. Die induzierte Abbildung

$R_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$

ist ebenfalls injektiv. Der Beweis zu

Fakt zeigt, dass es ein Primideal aus ${}S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$ gibt, das auf ${}{\mathfrak {q}}$ runterschneidet.

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Satz

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

abgeschlossen.

Wenn ${}\varphi$ zusätzlich injektiv ist, so ist ${}\varphi ^{*}$ surjektiv.

Beweis

Wir zeigen für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ mit einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq S$, dass das Bild

${}\varphi ^{*}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))\,$

ist, also insbesondere wieder abgeschlossen ist. Dafür betrachten wir den induzierten Ringhomomorphismus

$R/\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})\longrightarrow S/{\mathfrak {a}},$

der ebenfalls ganz und zusätzlich injektiv ist. Daher ist

$V({\mathfrak {a}})\cong \operatorname {Spek} {\left(S/{\mathfrak {a}}\right)}\longrightarrow V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))\cong \operatorname {Spek} {\left(R/\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})\right)}$

nach Fakt surjektiv. Also ist ${}\varphi ^{*}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))$. Der Zusatz folgt ebenfalls aus Fakt.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}A$ ein Integritätsbereich und ${}K\subseteq A$ eine ganze Erweiterung.

Dann ist auch ${}A$ ein Körper.

Beweis

Es sei ${}a\in A$, ${}a\neq 0$. Wir betrachten eine Ganzheitsgleichung

${}a^{n}+r_{n-1}a^{n-1}+\cdots +r_{1}a+r_{0}=0\,.$

Wenn ${}r_{0}=0$ ist, so können wir ${}a$ ausklammern und erhalten, da ${}a$ ein Nichtnullteiler ist, eine Ganzheitsgleichung kleineren Grades. Wir können also annehmen, dass ${}r_{0}\neq 0$ ist. Dann ist

${}a\cdot {\left(a^{n-1}+r_{n-1}a^{n-2}+\cdots +r_{1}\right)}\cdot {\left(-r_{0}^{-1}\right)}=1\,$

und somit ist ${}a$ eine Einheit.

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Lemma

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien ${}{\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {q}}$ Primideale in ${}S$ mit ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}})=\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})$.

Dann ist ${}{\mathfrak {p}}\not \subseteq {\mathfrak {q}}$.

D.h. die Fasern sind nulldimensional.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {r}}:=\varphi ^{*}({\mathfrak {p}})=\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})$. Wir machen den Übergang

$R\longrightarrow R_{\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}R_{\mathfrak {r}}=\kappa ({\mathfrak {r}})$

und betrachten die induzierte Abbildung

$\kappa ({\mathfrak {r}})=:K\longrightarrow (S/{\mathfrak {r}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {r}})}=:A,$

die ebenfalls ganz ist. Nach Fakt ist ${}\operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ die Faser von ${}\varphi ^{*}$ über ${}{\mathfrak {r}}$. Wir müssen also zeigen, dass das Spektrum einer über einem Körper ${}K$ ganzen Algebra nulldimensional ist, es also keine Inklusionen von Primidealen gibt. Es sei ${}{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {q}}$ eine Inklusion von Primidealen aus ${}A$. Wir gehen zu ${}K\rightarrow A/{\mathfrak {p}}$ über. Somit ist ${}A/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich und eine ganze Erweiterung eines Körpers. Nach Fakt ist ${}A/{\mathfrak {p}}$ selbst ein Körper. Also ist

${}{\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\,.$

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Satz

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist

${}\operatorname {dim} {\left(S\right)}=\operatorname {dim} {\left(R\right)}\,.$

Beweis

Zu einer Primidealkette ${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$ aus ${}S$ ist die Kette ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})\subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})\subset \ldots \subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{n})$ nach Fakt ebenfalls echt, so dass

${}\operatorname {dim} {\left(S\right)}\leq \operatorname {dim} {\left(R\right)}\,$

ist. Zu einer Primidealkette ${}{\mathfrak {q}}_{0}\subset {\mathfrak {q}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$ aus ${}R$ gibt es zunächst nach Fakt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}_{0}$ aus ${}S$ mit ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}$. Nach Fakt kann man dies sukzessive zu einer Kette ${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$ mit ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{i})={\mathfrak {q}}_{i}$ fortsetzen. Daher ist auch

${}\operatorname {dim} {\left(S\right)}\geq \operatorname {dim} {\left(R\right)}\,.$

$\Box$