Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Jacobische Varietät/Einführung/Textabschnitt
Es sei eine kompakte riemannsche Fläche vom Geschlecht und sei eine -Basis des Vektorraumes der holomorphen Differentialformen. Dann nennt man
das Periodengitter zu der gegebenen Basis.
Das Periodengitter ist in der Tat ein Gitter im .
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht .
Dann ist das Periodengitter ein Gitter in .
Es sei
der Periodenvektor zu einem geschlossenen Weg . Zu einer Basis von ist zu zeigen, dass die Vektoren über linear unabhängig sind. Es seien mit
Dann gilt
für alle holomorphen Basisformen. Dann gilt auch
für alle konjugierten Differentialformen. Die beiden Unterräume und erzeugen . Somit gilt auch
für jede Kohomologieklasse . Nach Fakt unter Verwendung der Dimensionsergebnisse und von
ist
Dann geht unter jeder Auswertung auf und muss daher selbst sein. Somit sind alle .
Die Periode hängt nur von der Homologieklasse des geschlossenen Weges und nicht von gewählten Aufpunkt ab. Das Periodengitter ist das Bild des Gruppenhomomorhismus
die Homomorphieeigenschaft beruht einfach darauf, dass Wegintegrale mit der Verknüpfung von Wegen verträglich sind. Wenn eine weitere Basis der holomorphen Formen ist, mit der Übergangsbasis , die die als Linearkombination der ausdrückt, so wird unter der natürlichen bijektiven linearen Abbildung
das Periodengitter zur ersten Basis in das Peridodengitter zur zweiten Basis überführt. Dies beruht direkt auf der Linearität der Wegintegrale in den Differentialformen,
Darauf beruht, dass die folgende Definition unabhängig von der gewählten Basis ist.
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht und sei eine -Basis des Vektorraumes der holomorphen Differentialformen. Dann nennt man
wobei das Periodengitter bezeichnet, die Jacobische Varietät zu .
Die Jacobische Varietät zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen vom Geschlecht lässt sich folgendermaßen unabhängig von einer Basis der holomorphen Differentialformen konstruieren. Es bezeichne der Dualraum zum Vektorraum der globalen holomorphen Differentialformen, der wie dieser die Dimension besitzt. Wir betrachten die Abbildung
Diese Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus und das Bild ist ein Gitter , die Restklassengruppe ist ein basisunabhängiges Modell für die Jacobische. Wenn eine Basis ist, so liegt ein kommutatives Diagramm
wobei der vertikale Pfeil eine Linearform auf das Auswertungstupel abbildet. Dabei wird in das Periodengitter überführt. Die natürliche Abbildung wird in diesem Setting bei gegebenem Basispunkt zu
wobei ein verbindender Weg von nach zu wählen ist.
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei die Divisorengruppe auf vom Grad . Es sei die Jacobische Varietät zu . Dann nennt man die Abbildung
die Abel-Jacobi-Abbildung. Dabei ist jeweils ein stetiger Weg von nach zu wählen.
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung
von der Gruppe der Weildivisoren auf vom Grad in die Jacobische Varietät ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.
Zunächst ist zu zeigen, dass das Ergebnis unabhängig von dem gewählten Weg von nach ist. Wenn zwei solche Wege sind, so ist eine geschlossener Weg mit als Auf- und Endpunkt und es gilt
für alle holomorphen Differentialformen . Da die Abbildung zum Periodengitter gehört, stimmen die Auswertungen zu und zu in überein.
Es ist ferner zu zeigen, dass die Abbildung unabhängig davon ist, welchen positiven Punkt des Weildivisors man mit welchem negativen Punkt zusammenordnet. Es seien dazu Punkte gegeben und sei ein stetiger Weg von nach , ein stetiger Weg von nach und ein stetiger Weg von nach . Dann ist, da man mit beliebigen verbindenden Wegen arbeiten kann,
Die Homomorphismuseigenschaft ist klar.
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung
von der Divisorenklassengruppe auf vom Grad in die Jacobische Varietät ein Gruppenisomorphismus.