Komplettierung/Einführung/Textabschnitt

Beispiel

Das Polynom

$Y^{2}-X^{3}-X^{2}$

besitzt im ${}\mathbb {R} ^{2}$ ein Nullstellengebilde, das sich selbst transversal (also nicht tangential) überkreuzt. Die dabei entstehende Singularität sieht also mikroskopisch betrachtet aus wie der Kreuzungspunkt des Achsenkreuzes im ${}\mathbb {R} ^{2}$, das ja die Nullstelle des Polynoms ${}XY$ ist. Es gibt aber einen erheblichen Unterschied: Der zugehörige Ring ${}K[X,Y]/(XY)$ (${}K$ ein beliebiger Körper) ist kein Integritätsbereich (es ist ja $XY=0$, aber $X,Y\neq 0$),

während ${}K[X,Y]/(Y^{2}-X^{3}-X^{2})$ ein Integritätsbereich ist. Letzteres beruht im Wesentlichen darauf, dass

${}X^{3}+X^{2}=X^{2}(X+1)\,$

keine Quadratwurzel in ${}K[X]$ besitzt. Problematisch ist der Faktor ${}X+1$. Die (Nicht)-Integrität bleibt auch erhalten, wenn man zur Lokalisierung am maximalen Ideal ${}(X,Y)$ übergeht. Wenn man hingegen die Situation reell oder komplex in einer kleinen ${}\epsilon$-Umgebung des Nullpunktes ansieht, so besitzt ${}X^{3}+X^{2}=X^{2}(X+1)$ eine wohldefinierte Quadratwurzel, nämlich ${}{\sqrt {X+1}}$. Reell bei ${}X\leq -1$ ist dies nicht definiert, für betragsmäßig kleine ${}X$ ist dies aber unproblematisch. Mit einer solchen Wurzel ist dann

${}Y^{2}-X^{2}(X+1)=(Y-X{\sqrt {X+1}})(Y+X{\sqrt {X+1}})\,,$

und das beschreibende Polynom zerfällt in zwei Faktoren, die den beiden sich schneidenden Komponenten entsprechen.

Es wäre wünschenswert, über eine algebraische Konstruktion zu verfügen, in der die verschiedenen Komponenten ebenfalls sichtbar werden. Dies leistet die Komplettierung, die eine besonders nahe/feine Beschreibung der Singularität bereitstellt.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Dazu gehören die Idealpotenzen ${}{\mathfrak {a}}^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, die die Inklusionen

${}{\mathfrak {a}}^{n+1}\subseteq {\mathfrak {a}}^{n}\,$

erfüllen. Somit gibt es surjektive Ringhomomorphismen

$R/{\mathfrak {a}}^{n+1}\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}^{n},$

und kommutative Diagramme

${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R/{\mathfrak {a}}^{n+1}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&R/{\mathfrak {a}}^{n}\,.&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

Allgemeiner gibt es zu ${}m\geq n$ surjektive Ringhomomorphismen

$\pi _{m,n}\colon R/{\mathfrak {a}}^{m}\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}^{n},$

und kommutative Diagramme

${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R/{\mathfrak {a}}^{m}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&R/{\mathfrak {a}}^{n}\,.&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

Jedes Element ${}f\in R$ definiert für jeden Index ${}n\in \mathbb {N}$ eine Restklasse

$f_{n}=[f]{\text{ in }}R/{\mathfrak {a}}^{n}.$

Dabei ist insbesondere ${}f_{1}\in R/{\mathfrak {a}}$ (und ${}f_{0}\in R/{\mathfrak {a}}^{0}=0$, was häufig ignoriert wird). Diese Restklassen sind eng miteinander verbunden, es ist nämlich

${}\pi _{m,n}(f_{m})=f_{n}\,.$

Wenn ${}f_{m}$ bekannt ist, so kann man die ${}f_{n}$ mit kleinerem Index direkt rekonstruieren. Eine wichtige begleitende Vorstellung ist, dass die ${}f_{0},f_{1},f_{2}$ zunehmende bessere Approximationen des wahren Elements ${}f$ sind. Diese Vorstellung passt besonders gut für den Fall, dass ein lokaler Ring ${}(R,{\mathfrak {m}})$ vorliegt und als Ideal das maximale Ideal genommen wird. Dann ist ${}f_{1}$ ein Element im Restekörper ${}R/{\mathfrak {m}}$, was man als konstante Approximation ansehen kann, ${}f_{2}\in R/{\mathfrak {m}}^{2}$ ist die „lineare Approximation“, ${}f_{3}\in R/{\mathfrak {m}}^{3}$ ist die „quadratische Approximation“, u.s.w.. Diese Sprechweisen passen besonders gut, wenn ${}R$ die Lokalisierung eines Polynomrings am zentralen maximalen Ideal ist.

Wir fragen uns, ob es neben den Folgen ${}f_{n},\,n\in \mathbb {N}$, die von einem Element ${}f\in R$ herrühren, weitere Folgen gibt, die diese Kompatibilitätsbedingung erfüllen, und was ihre Signifikanz für den Ring und das gegebene Ideal ist. Wir halten zuerst diese Kompatibilitätsbedingung fest.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Dann nennt man eine Folge ${}(f_{n})\in R/{\mathfrak {a}}^{n}$ kompatibel, wenn

${}\pi _{m,n}(f_{m})=f_{n}\,$

für alle ${}m\geq n$ gilt, wobei ${}\pi _{m,n}\colon R/{\mathfrak {a}}^{m}\rightarrow R/{\mathfrak {a}}^{n}$, den kanonischen Restklassenhomomorphismus bezeichnet.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Dann heißt

${}{\hat {R}}={\left\{{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in \prod _{n\in \mathbb {N} }R/{\mathfrak {a}}^{n}\mid {\text{kompatibel}}\right\}}\,$

die Komplettierung von ${}R$ bezüglich ${}{\mathfrak {a}}$.

Beispiel

Es sei ${}p$ ein Primzahl. Die Idealkette

${}(p)\supset (p^{2})\supset (p^{3})\supset \,$

liefert die Restklassenhomomorphismen

$\longrightarrow \mathbb {Z} /(p^{3})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p^{2})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)\longrightarrow 0$

und somit die Komplettierung ${}{\widehat {\mathbb {Z} ,(p)}}={\hat {\mathbb {Z} _{(p)}}}$. Jede ganze Zahl ${}a$ liefert darin eine Folge

$([a]_{1},[a]_{2},[a]_{3},\ldots ),$

wobei ${}[a]_{n}$ die Restklasse von ${}a$ in ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ bezeichnet. Wenn man jeweils mit dem kanonischen Vertreter von ${}[a]_{n}$, also dem zwischen ${}0$ und ${}p^{n}-1$ arbeitet, so sieht die Folge typischerweise so aus

$([a]_{1},[a]_{2},[a]_{3},\ldots ,[a]_{n-1},a,a,a,a,a,\ldots ),$

da ja iregendwann

${}a<p^{n}\,$

ist und somit ${}a$ der kanonische Vertreter selbst ist. Die ganzen Zahlen finden sich also in der Komplettierung in einer ziemlich banalen Weise wieder. Ein wichtiger Punkt ist aber, dass in der Komplettierung zusätzliche Elemente auftreten, die zu diesen banalen Elementen in einer neuen nichttrivialen Beziehung stehen. Es sei beispielsweise ${}p=7$. Die Zahl ${}2$ ist in ${}\mathbb {Z}$ keine Einheit. Dagegen ist sie für jeden Exponenten ${}n$ in ${}\mathbb {Z} /(7^{n})$ eine Einheit, da ja ${}2$ und ${}7^{n}$ teilerfremd sind. Es sei nun ${}u_{n}$ das (eindeutig bestimmte) inverse Element zur ${}2$ in ${}\mathbb {Z} /(7^{n})$, also

${}u=(4,25,172,\ldots )\,$

(in diesem Beispiel gibt es eine einfache Formel). Da unter den Projektionen ${}\mathbb {Z} /(7^{n+1})\rightarrow \mathbb {Z} /(7^{n})$ inverse Elemente auf inverse Elemente abgebildet werden, ist diese Folge kompatibel und definiert somit ein Element in der Komplettierung. Dabei ist

${}2\cdot u=1\,,$

da dies unter jeder Projektion gilt.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal.

Dann ist die Komplettierung ${}{\hat {R}}$ ein kommutativer Ring und die natürliche Abbildung

$R\longrightarrow {\hat {R}},\,f\longmapsto {\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

ist ein Ringhomomorphismus.

Beweis

Der Produktring ${}\prod _{n\in \mathbb {N} }R/{\mathfrak {a}}^{n}$ ist mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation versehen. Da die Summe und das Produkt von kompatiblen Elementen wieder kompatibel sind, bildet die Komplettierung einen Unterring. Zu ${}f\in R$ ist ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ kompatibel, und diese Zuordnung ist ein Ringhomomorphismus, da jeder Restklassenhomomorphismus ${}R\rightarrow R/{\mathfrak {a}}^{n}$ ein Ringhomomorphismus ist.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in ${}R$ mit der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$.

Dann stimmt die Komplettierung von ${}R$ bezüglich ${}{\mathfrak {m}}$ mit der Komplettierung von ${}R_{\mathfrak {m}}$ bezüglich ${}{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}$ in kanonischer Weise überein.

Beweis

Unter dem zusammengesetzten Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}R_{\mathfrak {m}}=R_{\mathfrak {m}}/{\left({\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}\right)}^{n}$

wird ${}{\mathfrak {m}}^{n}$ auf ${}0$ abgebildet, wobei die letzte Gleichung auf Aufgabe beruht. Daher gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus

$R/{\mathfrak {m}}^{n}\longrightarrow R_{\mathfrak {m}}/{\left({\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}\right)}^{n}.$

Die Restklassenabbildung

$R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{n}$

bildet nach Aufgabe jedes Element aus ${}R\setminus {\mathfrak {m}}$ auf eine Einheit ab. Daher gibt es nach Fakt einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{n}.$

Darunter wird ${}{\mathfrak {m}}^{n}R_{\mathfrak {m}}$ auf ${}0$ abgebildet und so erhält man

$R_{\mathfrak {m}}/{\left({\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}\right)}^{n}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{n}.$

Diese beiden Ringhomomorphismen sind invers zueinander und man hat kanonische Isomorphien

${}R/{\mathfrak {m}}^{n}\cong R_{\mathfrak {m}}/{\left({\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}\right)}^{n}\,.$

Da die Familie dieser Restklassenringe jeweils die Komplettierung festlegen, stimmen sie überein.

$\Box$

Lemma

Kommutativer Ring/Nilpotentes Ideal/Komplettierung/Fakt

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ ein Ideal.

Dann ist die kanonische Abbildung

$R\longrightarrow {\widehat {R,{\mathfrak {a}}}}$

injektiv.

Beweis

Der Kern der Abbildung ist offenbar ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}$. Dies ist unter den gegebenen Voraussetzungen nach dem Krullschen Durchschnittsatz gleich ${}0$.

$\Box$

Definition

Ein lokaler Ring heißt vollständig, wenn die kanonische Abbildung ${}R\rightarrow {\hat {R}}$ bijektiv ist.