Kurs:Algebraische Kurven/15/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	0	6	3	3	0	3	0	5	0	5	4	0	7	3	2	47

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der rationale Funktionenkörper zu einem Körper ${}K$.
2. Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge ${}V$.
3. Ein noetherscher Ring.
4. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches ${}R$.
5. Eine monomiale Kurve.
6. Ein transversaler Schnitt von zwei ebenen Kurven ${}V(F)$ und ${}V(G)$ in einem Punkt ${}P$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die rationale Parametrisierung einer ebenen Kurve.
2. Der Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.
3. Der Satz über die Normalisierung von Monoidringen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R[X]$ ein Ideal mit Erzeugern

${}{\mathfrak {a}}=(F_{0},F_{1},\ldots ,F_{n})\,,$

wobei ${}F_{0}=X-r$ mit ${}r\in R$ sei. Für ${}i\geq 1$ seien ${}G_{i}$ die Elemente aus ${}R$, die entstehen, wenn man in ${}F_{i}$ die Variable ${}X$ durch ${}r$ ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe

${}R[X]/{\mathfrak {a}}\cong R/(G_{1},\ldots ,G_{n})\,$

vorliegt.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,.$

2. Zeige, dass

   $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,$

   ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}s,t\in K$. Zeige, dass die drei Punkte ${}\left(s,\,s^{3}\right),\,\left(t,\,t^{3}\right),\,\left(-(s+t),\,-(s+t)^{3}\right)\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ auf einer Gerade liegen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ der Einheitskreis über einem Körper ${}K$ und es seien ${}P=(a,b)$ und ${}Q=(c,d)$ Punkte auf ${}V$. Zeige, dass es einen Automorphismus ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ mit

${}\varphi (P)=Q\,$

gibt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}f=xy^{3}+y+x^{3}=0\,$

gegebene Kurve in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ über einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass bei ${}\operatorname {char} (K)=7$ der Punkt ${}(4,2)$ ein singulärer Punkt der Kurve ist.
2. Zeige, dass die Kurve bei ${}\operatorname {char} (K)\neq 7$ glatt ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid. Zeige, dass der Singularitätsgrad von ${}M$ mit den drei folgenden Zahlen übereinstimmt.

1. Die maximale Länge einer Kette von Monoiden

   ${}M=M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \ldots \subset M_{n}=\mathbb {N} \,$

2. Die maximale Länge einer Kette von ${}K$- Algebren

   ${}K[M]=R_{0}\subset R_{1}\subset R_{2}\subset \ldots \subset R_{n}=K[T]\,.$

3. Die maximale Länge einer Kette (einer Fahne) von ${}K$- Untervektorräumen

   ${}K[M]=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n}=K[T]\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Schnittmultiplizität und den transversaler Schnitt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Multiplizität der ebenen projektiven Kurve

${}V_{+}{\left(X^{4}+YZ^{3}+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

im Punkt ${}(0,1,0)$ sowie die (projektiven) Tangente(n) in diesem Punkt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der Fermat-Kubik

${}V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

mit der Geraden ${}V_{+}(X+Y+Z)$.