Kurs:Algebraische Kurven/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	1	8	2	2	3	8	10	3	2	2	5	4	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der rationale Funktionenkörper zu einem Körper ${}K$.
2. Eine Algebra von endlichem Typ.
3. Ein idempotentes Element ${}e$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Ein Morphismus ${}{\psi }\colon Y\rightarrow X$ zwischen quasiaffinen Varietäten.
5. Die Multiplizität zu einem Punkt ${}P\in V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.
6. Der projektive Abschluss zu einer affinen Varietät ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Durchschnitt von endlichen Kurven.
2. Der Satz über das Verhalten von maximalen Idealen unter Ringhomomorphismen.
3. Der Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings ${}K[\![T]\!]$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne

$(Y-X)(Z-X)(Z-Y)$

in ${}K[X,Y,Z]$.

Aufgabe * (8 (1+1+1+2+3) Punkte)

Es sei

${}P={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x^{2}\right\}}\,$

die Standardparabel und ${}K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}(0,1)$ und dem Radius ${}1$.

1. Skizziere ${}P$ und ${}K$.
2. Erstelle eine Gleichung für ${}K$.
3. Bestimme die Schnittpunkte

   $P\cap K.$

4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von ${}[-1,1]$ nach ${}\mathbb {R}$.
5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Punkte der Neilschen Parabel

$V(Y^{2}-X^{3})$

über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

1. Homogenisiere das Polynom

   $X^{3}Y^{2}-8X^{4}Y-6X^{2}Y^{2}+5Y^{4}-10X^{3}+9XY+1$

   bezüglich der neuen Variablen ${}Z$.

2. Dehomogenisiere das Polynom

   $3X^{6}+2X^{2}Y^{2}Z^{2}-7X^{4}Y^{2}-6X^{2}Y^{3}Z+11XY^{4}Z-11X^{3}Y^{2}Z-4XYZ^{4}+Z^{6}$

   bezüglich der Variablen ${}Z$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es eine rationale Parametrisierung der Hyperbel gibt, aber keine polynomiale Parametrisierung dafür. Erläutere dabei die verwendeten Begriffe.

Aufgabe * (8 (1+5+2) Punkte)

Wir betrachten das mechanische System, das durch die ${}x$-Achse und den Kreis mit Radius ${}1$ und Mittelpunkt ${}(0,2)$ gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei ${}d>0$.

1. Erstelle die Gleichungen, die dieses System beschreiben.
2. Bestimme, für welche ${}d$ das System in jedem Punkt regulär ist.
3. Bestimme die kritischen Punkte in Abhängigkeit von ${}d$. Wie kann man diese Punkte als Eigenschaft des mechanischen Systems erklären?

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Hilbertschen Basissatz.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe zu jedem ${}n\geq 2$ einen kommutativen Ring ${}R$ und ein Element ${}x\in R$, ${}x\neq 0$, an, für das ${}nx=0$ und ${}x^{n}=0$ gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ reduziert ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass man den Koordinatenring zum Standardkegel ${}V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})$ über ${}{\mathbb {C} }$ als einen Monoidring realisieren kann.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

$V(X^{2}Y+X^{2}+Y^{2}-5XY+Y)$

eine nicht-konstante Potenzreihenlösung ${}Y=F(X)$ im Nullpunkt bis zur fünften Ordnung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass unter der Kegelabbildung

$\pi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

die Beziehung

${}\pi ^{-1}(V_{+}({\mathfrak {a}}))=V({\mathfrak {a}})\cap {\left({{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\right)}\,$

für jedes homogene Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gilt. Folgere daraus, dass ${}\pi$ stetig in der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring

$\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}.$

Was folgt daraus für einen Morphismus ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$?