Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 1/kontrolle
- Übungsaufgaben
Zeige, dass eine irrationale Zahl ist.
Es sei eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl irrational ist.
Bestimme die Einheiten von und von , wobei ein Körper sei.
Berechne
Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt.
Es sei eine natürliche Zahl, die modulo den Rest besitzt. Zeige, dass nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar ist.
Bestimme für jede natürliche Zahl , ob sie sich als eine Summe von drei Quadratzahlen darstellen lässt.
Bestimme für jede natürliche Zahl , auf wie viele verschiedene Arten sie sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen lässt, d.h. man bestimme die Anzahl der -Tupel
Zu einer natürlichen Zahl bezeichne die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von vier Quadratzahlen darzustellen, d.h. ist die Anzahl der -Tupel
Es sei eine ungerade positive Zahl. Beweise die Beziehung
Tipp: Zu einem Tupel kann man das Tupel betrachten.
Es sei ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ein Unterkörper von ist.
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.
Es sei eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen . Zeige, dass entweder mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ist, oder aber dicht in ist.
Skizziere ein Entscheidungsverfahren für die Frage, ob eine diophantische Gleichung in einer Variablen eine Lösung besitzt oder nicht.
Finde mindestens eine ganzzahlige Lösung für die diophantische Gleichung
für .
Zeige, dass die Gleichung
in bei nur die Lösungen besitzt.
Zeige, dass die Gleichung
in auch Lösungen mit besitzt.
Zeige, dass die Gleichung
in auch Lösungen besitzt.
Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem und .
Es seien natürliche Zahlen. Zeige, dass
die Gleichung
erfüllen.
Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.
Es sei ein Körper, und . Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn zwei Lösungen der Gleichung sind und , so ist ihr Quotient eine -te Einheitswurzel.
- Wenn eine Lösung der Gleichung und eine -te Einheitswurzel ist, so ist auch eine Lösung der Gleichung .
Zeige: Um den Satz von Wiles für alle Exponenten zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.
Es sei
eine Fermat-Gleichung. Zeige: wenn es keine nichttriviale Lösung in natürlichen Zahlen gibt, so gibt es auch keine nichttriviale Lösung in ganzen Zahlen.
Zeige unter Verwendung des Satzes von Wiles, dass die diophantische Gleichung
für keine von verschiedene Lösung besitzt.
Zeige, dass in die Gleichung
nur die triviale Lösung besitzt.
Bestätige die folgenden Identitäten.
Bestätige die Gleichung