Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Einheitswurzeln in Zahlbereichen}
Eine Einheitswurzel in einem kommutativen Ring $R$ ist das gleiche wie eine Torsionseinheit, also ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Menge aller Einheitswurzeln bilden eine Untergruppe der Einheitengruppe $R^{\times}$. Wir bezeichnen sie mit
\mathl{\mu_{ } { \left( R \right) }}{.} Ebenso bildet die Menge aller $n$-ten Einheitswurzeln eine Untergruppe, die wir mit
\mathl{\mu_{ n } { \left( R \right) }}{} bezeichnen. Da eine $n$-te Einheitswurzel eine Nullstelle des Polynoms $X^n-1$ ist, gibt es über einem Körper und damit auch über einem Integritätsbereich nach
Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
maximal $n$ Nullstellen. Für einen Integritätsbereich ist also
\mathl{\mu_{ n } { \left( R \right) }}{} eine endliche Gruppe mit höchstens $n$ Elementen. Nach
Satz 9.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
handelt es sich um eine zyklische Gruppe. Wenn sie die Ordnung $n$ besitzt, so nennt man einen Erzeuger eine \stichwort {primitive Einheitswurzel} {.} Für die abstrakte multiplikative geschrieben zyklische Gruppe mit $n$ Elementen schreiben wir $\mu_n$ und die Eigenschaft, dass ein Körper $K$ $n$ $n$-te Einheitswurzeln besitzt schreiben wir kurz als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\mu_n
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Normaler Integritätsbereich/Quotientenkörper/Einheitswurzeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$Q(R)$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_{ } { \left( R \right) }
}
{ = }{ \mu_{ } { \left( Q(R) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_{ } { \left( R \right) }
}
{ \subseteq }{ \mu_{ } { \left( Q(R) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist klar. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{\mu_{ } { \left( Q(R) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q^n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $q$ die
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^n-1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt, folgt aus der Normalität direkt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört.
Diese Beobachtung kann man für Zahlbereiche anwenden. Wir werden im Folgenden die Aussagen für die Zahlbereiche formulieren, wobei die Argumente teilweise über die Quotientenkörper, also über endliche Erweiterungen von $\Q$, gehen, teilweise über den Zahlbereich selbst. Ohne die Voraussetzung normal ist die Aussage nicht richtig, wie das folgende Beispiel zeigt.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den Ring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \Z[2 { \mathrm i} ]
}
{ \subseteq} { \Z[ { \mathrm i} ]
}
{ \subseteq} { \Q[ { \mathrm i} ]
}
{ =} {K
}
}
{}{}{.}
Der Quotientenkörper von $R$ ist $\Q[ { \mathrm i}]$, $R$ ist nicht
\definitionsverweis {normal}{}{.}
In $R$ gibt es nur die Einheitswurzeln
\mathkor {} {1} {und} {-1} {,}
im Quotientenkörper gibt es dagegen die Einheitswurzeln
\mathl{1,-1,{ \mathrm i},-{ \mathrm i}}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Reelle Einbettung/Einheitswurzeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{,}}
\faktvoraussetzung {für den es zumindest eine reelle Einbettung gebe.}
\faktfolgerung {Dann ist die Gruppe der
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
\mathl{\mu_{ } { \left( R \right) }}{} gleich $\{ 1,-1\}$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus einer Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{ Q(R)
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da es in $\R$ nur die beiden Einheitswurzeln
\mathkor {} {1} {und} {-1} {}
gibt und da Einheitswurzeln unter einem
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
auf Einheitswurzeln abgebildet werden.
In den komplexen Zahlen gibt es alle Einheitswurzeln. Die Kreisteilungskörper und Kreisteilungsringe zeigen, dass man Einheitswurzeln in endlichen Erweiterungen von $\Q$ bzw. $\Z$ realisieren lassen. Die folgenden Aussagen zeigen, dass die Kreisteilungskörper im Wesentlichen durch ihre enthaltenen Einheitswurzeln bestimmt sind.
\inputfaktbeweis
{Körper/Charakteristik 0/Einheitswurzeln/Kreisteilungskörper/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann enthält $K$ genau dann eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$n$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{,}
wenn für den $n$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K_n
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die eine Richtung ist klar. Für die Rückrichtung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine primitive $n$-te Einheitswurzel. Dies definiert einen
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { \Q[X]/(X^n-1) } { K
} {X} { \zeta
} {.}
Somit gibt es nach
Lemma 19.9 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
einen induzierten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} { \Q[X]/ { \left( \Phi_{d} \right) } } { K
} {}
mit einem Teiler $d$ von $n$. Doch dann gibt es auch einen Ringhomomorphismus
\maabbeledisp {} { \Q[X]/(X^d-1) } { K
} {X} { \zeta
} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies ein Widerspruch zur Ordnung von $\zeta$. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es gibt einen Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} { K_n = \Q[X]/ { \left( \Phi_{n} \right) } } { K
} {.}
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungskörper/Einheitswurzeln/Gleichheit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Einheitswurzelgruppe}{}{}
des $n$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungskörpers}{}{}
$K_n$ ist}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_{ } { \left( K_n \right) }
}
{ =} { \mu_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bei $n$ gerade und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_{ } { \left( K_n \right) }
}
{ =} { \mu_{2n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bei $n$ ungerade.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach Konstruktion der Kreisteilungskörper ist klar, dass $K_n$ die $n$-ten Einheitswurzeln enthält. Wenn $n$ ungerade und $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel ist, so ist $- \zeta$ eine primitive $2n$-te Einheitswurzel und somit sind die Inklusionen $\supseteq$ klar. Es ist also noch zu zeigen, dass die Kreisteilungskörper keine weiteren Einheitswurzeln enthält. Dazu können wir annehmen, dass $n$ gerade ist. Es sei $\xi$ eine zusätzliche Einheitswurzel der Ordnung $m$. Wir können annehmen, dass $m$ gerade und ein echtes Vielfaches von $n$ ist, da die von $\xi$ und einer primitiven $n$-ten Einheitswurzel $\zeta$ erzeugte Untergruppe wieder endlich und zyklisch und ihre
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
ein Vielfaches der beiden Ordnungen sein muss. Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_m
}
{ \subseteq }{K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_m
}
{ \subseteq }{ K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 27.4.
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{2^r p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2^s p_1^{s_1} \cdots p_k^{s_k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \geq }{s
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_j
}
{ \geq }{s_j
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da ein Exponent echt größer ist, ergibt sich ein Widerspruch zu
Satz 17.10.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Einheitswurzeln/Endlich/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{\mu_{ } { \left( R \right) }}{} endlich und
\definitionsverweis {zyklisch}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir argumentieren in der endlichen Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die den Grad $d$ habe. Wir behaupten zunächst, dass die
\definitionsverweis {Ordnungen}{}{}
in $\mu_{ } { \left( K \right) }$ beschränkt ist. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist, und sei
\mathbed {r_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine streng wachsende
\zusatzklammer {und damit unbeschränkte} {} {}
Folge von natürlichen Zahlen, die als Ordnungen von Elementen aus $\mu_{ } { \left( K \right) }$ vorkommen. Dann gilt nach
Lemma 27.4
für die
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K_{ r_n }
}
{ \subseteq} {K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für der Grad $d$ gilt dann unter Verwendung von
Satz 17.10
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d
}
{ \geq} { \operatorname{grad}_{ \Q} K_{ r_n }
}
{ =} { {\varphi (r_n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn in den Primfaktorzerlegungen der Folgenglieder $r_n$ unendlich viele Primzahlen $p_m$ vorkommen, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq} {p_m-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn hingegen in den Primfaktorzerlegungen nur endlich viele Primzahlen vorkommen, so gibt es darin eine Teilfolge mit Primzahlpotenzen
\mathl{p^{s_k}}{} als Teiler mit
\mathl{s_k \rightarrow \infty}{.}
In diesem Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{(p-1) p^{s_k-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In beiden Fällen ergibt sich ein Widerspruch zur Endlichkeit von $d$. Die Endlichkeit der Gruppe folgt daher mit
Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
Die Zyklizität folgt aus
Satz 9.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)).
\inputfaktbeweis
{Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Einheitswurzeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ der
\definitionsverweis {imaginär-quadratische Zahlbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
$\triangle$.}
\faktfolgerung {Dann stimmt die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
$R^{\times}$ mit der Einheitswurzelgruppe
\mathl{\mu_{ } { \left( R \right) }}{} überein. Für diese gibt es die folgenden drei Möglichkeiten.
\aufzaehlungdrei{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\triangle
}
{ = }{-3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_{ } { \left( R \right) }
}
{ \cong }{ \Z/(6)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\triangle
}
{ = }{-4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_{ } { \left( R \right) }
}
{ \cong }{ \Z/(4)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\triangle
}
{ \leq }{-5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_{ } { \left( R \right) }
}
{ = }{ \{1,-1\}
}
{ \cong }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wegen der expliziten Gestalt der Norm und
Lemma 10.1
ist die Einheitengruppe endlich, stimmt also mit der Einheitswurzelgruppe überein. Es sei $A$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \leq }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $A$ der Ring der Gaußschen Zahlen und es gibt die vier Einheiten
\mathl{1,-1,{ \mathrm i},-{ \mathrm i}}{,} und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\triangle
}
{ = }{-4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 9.9.
Dies ist der einzige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $-4$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{\triangle
}
{ = }{-3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt der Ring der Eisensteinzahlen vor, siehe
Beispiel 7.4.
Er ist zugleich der dritte und der sechste Kreisteilungsring und seine Einheitswurzelgruppe ist nach
Lemma 27.5
gleich $\Z/(6)$. Es sei also die Diskriminante $\leq -5$. Die Norm von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a+b \sqrt{D}
}
{ \in }{ \Q[ \sqrt{D}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{a,b
}
{ \in }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ist durch
\mathl{a^2+ b^2 \betrag { D }}{} gegeben. Wenn das Element zum Ganzheitsring gehört, so sind bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{2,3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Satz 9.8
die Koeffizienten $a,b$ ganzzahlig und aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { D }
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und aus
Lemma 10.1
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind ebenfalls nach
Satz 9.8
die Koeffizienten $a,b$ ganzzahlige Vielfache von $1/2$ und aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { D }
}
{ \geq }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu einer
\definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{}
$H$ bezeichnen wir die Menge der
\definitionsverweis {Automorphismen}{}{}
mit $\operatorname{Aut} (H)$. Dies ist selbst eine Gruppe mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung. Für die kommutative Gruppe $\Z/(n)$ ist ein Gruppenhomomorphismus in sich durch das Bild des Erzeugers festgelegt, und ein Automorphismus liegt genau dann vor, wenn der Erzeuger auf einen Erzeuger abgebildet wird. Deshalb ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Aut} { \left( \Z/(n) \right) }
}
{ \cong} { { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
einer Einheit $a$ rechts entspricht der Gruppenhomomorphismus
\mathl{x \mapsto ax}{.} Für $\mu_n$, die multiplikativ geschriebene zyklische Gruppe der Ordnung $n$, gilt entsprechend
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Aut} { \left( \mu_n \right) }
}
{ \cong} { { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und der Einheit $a$ entspricht das Potenzieren
\mathl{x \mapsto x^a}{.} Die Beschreibung der Galoisgruppe für Kreisteilungskörper aus
Satz 17.11
kann man somit als einen Gruppenisomorphismus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( K_n {{|}} \Q )
}
{ \cong} { \operatorname{Aut} ( \mu_n )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
verstehen. Zwischen diesen beiden Gruppen besteht nun stets der folgende Zusammenhang.
\inputfaktbeweis
{Zahlkörper/Galoissch/Wirkung auf Einheitswurzeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_{ } { \left( K \right) }
}
{ =} {\mu_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Einheitswurzelgruppe}{}{}
zu $K$.}
\faktfolgerung {Dann
\definitionsverweis {operiert}{}{}
$G$ in natürlicher Weise auf $\mu_{ } { \left( K \right) }$, d.h. es gibt einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Aut} ( \mu_{ } { \left( K \right) } ) = { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}
} {\sigma} { (\zeta \mapsto \sigma (\zeta) )
} {.}
Wenn eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
vorliegt, so ist diese Abbildung surjektiv.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach Voraussetzung enthält $K$ die $n$-ten Einheitswurzeln und damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_n
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 27.4.
Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_{ } { \left( K \right) }
}
{ = }{ \mu_{ } { \left( K_n \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Abbildung
\maabbdisp {} { \operatorname{Gal}\, ( K_n {{|}} \Q ) } { \operatorname{Aut} ( \mu_{ } { \left( K \right) } ) \cong { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}
} {}
ist nach
Satz 17.11
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
galoissch ist, so ist $K$ nach
Korollar 16.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
auch galoissch über $K_n$ und die $\Q$-Automorphismen lassen sich wegen
Korollar 15.8 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
nach $K$ fortsetzen.