Kurs:Analysis/Teil II/16/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 7 | 3 | 2 | 6 | 4 | 3 | 5 | 2 | 62 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die
Fakultätsfunktion
- Die
Stetigkeit
einer Abbildung
zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .
- Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
- Die -fache stetige Differenzierbarkeit einer Abbildung zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen und .
- Die
Niveaumenge
zu einer Funktion
über .
- Die Eigenschaft eines Vektorfeldes, einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt zu einer Abbildung
zwischen metrischen Räumen
und . - Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
- Der Satz über die Umkehrabbildung.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise das Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale.
Aufgabe * (3 Punkte)
Beweise die Dreiecksungleichung für die Norm zu einem Skalarprodukt.
Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)
Bestimme den Abschluss für die folgenden Teilmengen von .
- Sei fixiert. ist die Menge der reellen Zahlen , deren Dezimalentwicklung nach der -ten Nachkommastelle abbricht.
- ist die Menge aller reellen Zahlen , deren Dezimalentwicklung irgendwo abbricht.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise die Integralabschätzung für stetige Kurven.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)
Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
- Bestimme die Eigenwerte der Matrix und die zugehörigen Basislösungen.
- Beschreibe ein Fundamentalsystem aus Basislösungen mit den Hyperbelfunktionen.
- Löse das
lineare Anfangswertproblem
mit den beiden Fundamentalsystemen aus (1) und (2).
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum , sei eine total differenzierbare Funktion und eine differenzierbare Funktion. Zeige
für .
Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und
ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Wir betrachten die Abbildung
mit
Man erhält also aus der Funktion die neue Funktion , indem man an einem Punkt die Richtungsableitung der Funktion in Richtung berechnet.
- Zeige
für .
- Es sei mit . Zeige, dass auf allen (Bildern der) Lösungen zur Differentialgleichung konstant ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix
gegebenen symmetrischen Bilinearform.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Aufgabe * (5 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
Zeige, dass ein Punkt genau dann ein regulärer Punkt von ist, wenn die Koordinaten von paarweise verschieden (also , und ) sind.
Aufgabe * (2 Punkte)
Finde eine Lösung für die Integralgleichung