Kurs:Analysis/Teil II/16/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 6 3 6 6 3 7 3 2 6 4 3 5 2 62




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Fakultätsfunktion
  2. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  3. Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  4. Die -fache stetige Differenzierbarkeit einer Abbildung zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen und .
  5. Die Niveaumenge zu einer Funktion

    über .

  6. Die Eigenschaft eines Vektorfeldes, einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt zu einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen

    und .
  2. Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
  3. Der Satz über die Umkehrabbildung.



Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale.



Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Dreiecksungleichung für die Norm zu einem Skalarprodukt.



Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Bestimme den Abschluss für die folgenden Teilmengen von .

  1. Sei fixiert. ist die Menge der reellen Zahlen , deren Dezimalentwicklung nach der -ten Nachkommastelle abbricht.
  2. ist die Menge aller reellen Zahlen , deren Dezimalentwicklung irgendwo abbricht.



Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Integralabschätzung für stetige Kurven.



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zum Vektorfeld

auf zum Weg



Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

  1. Bestimme die Eigenwerte der Matrix und die zugehörigen Basislösungen.
  2. Beschreibe ein Fundamentalsystem aus Basislösungen mit den Hyperbelfunktionen.
  3. Löse das lineare Anfangswertproblem

    mit den beiden Fundamentalsystemen aus (1) und (2).



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung von

im Punkt in Richtung .



Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum , sei eine total differenzierbare Funktion und eine differenzierbare Funktion. Zeige

für .



Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Wir betrachten die Abbildung

mit

Man erhält also aus der Funktion die neue Funktion , indem man an einem Punkt die Richtungsableitung der Funktion in Richtung berechnet.

  1. Zeige

    für .

  2. Es sei mit . Zeige, dass auf allen (Bildern der) Lösungen zur Differentialgleichung konstant ist.



Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion



Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass ein Punkt genau dann ein regulärer Punkt von ist, wenn die Koordinaten von paarweise verschieden (also , und ) sind.



Aufgabe * (2 Punkte)

Finde eine Lösung für die Integralgleichung