Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 12/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine lineare Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax,$

stetig ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

stetig ist.

Aufgabe Aufgabe 12.3 ändern

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$

stetig ist.

Die folgende Aufgabe verwendet die reelle Sinusfunktion, die wir später einführen werden. Im Moment muss man nur wissen, dass sie stetig und periodisch ist und dass sich ihre Werte zwischen ${}-1$ und ${}1$ bewegen.

Aufgabe Aufgabe 12.4 ändern

Zeige, dass die durch

${}f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}x\in T$ ein Punkt mit ${}f(x)>0$. Zeige, dass dann auch ${}f(y)>0$ für alle ${}y\in T$ aus einem nichtleeren offenen Intervall ${}]x-\delta ,x+\delta [$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}a<b<c$ reelle Zahlen und es seien

$g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$h\colon [b,c]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit ${}g(b)=h(b)$. Zeige, dass dann die Funktion

$f\colon [a,c]\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

$f(t)=g(t){\text{ für }}t\leq b{\text{ und }}f(t)=h(t){\text{ für }}t>b$

ebenfalls stetig ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme, für welche Punkte ${}x\in \mathbb {R}$ die durch

${}f(x)={\begin{cases}1{\text{ für }}x\leq -1\,,\\x^{2}{\text{ für }}-1<x<2\,,\\-2x+7{\text{ für }}x\geq 2\,,\end{cases}}\,$

definierte Funktion stetig ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

nur im Nullpunkt stetig ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine endliche Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ stetig ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne den Grenzwert der Folge

$x_{n}=5\left({\frac {2n+1}{n}}\right)^{3}-4\left({\frac {2n+1}{n}}\right)^{2}+2\left({\frac {2n+1}{n}}\right)-3$

für ${}n\rightarrow \infty$.

Aufgabe Aufgabe 12.11 ändern

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und ${}x\in \mathbb {R}$. Es sei

${}T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\subseteq \mathbb {R} \,.$

Die Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

sei durch

$f{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}{\text{ und }}f(0)=x$

festgelegt. Zeige, dass ${}f$ genau dann stetig ist, wenn die Folge gegen ${}x$ konvergiert.

Die nächsten beiden Aufgaben verwenden folgende Definition.

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$f\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge ${}S\subseteq L$ heißt die Abbildung

$S\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

die Einschränkung der Abbildung auf die Teilmenge ${}S$.

Die Einschränkung wird mit ${}f{|}_{S}$ bezeichnet.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}S\subseteq T\subseteq {\mathbb {K} }$ Teilmengen. Zeige, dass zu einer stetigen Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

auch die Einschränkung ${}f{|}_{S}$ stetig ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine streng wachsende Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,$

mit der Eigenschaft, dass es keine (endliche) Zerlegung ${}0=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=1$ des Intervalls ${}[0,1]$ derart gibt, dass die Einschränkungen ${}f{|}_{]a_{i-1},a_{i}]}$ stetig sind.

Aufgabe Aufgabe 12.14 ändern

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei ${}a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es sei ${}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine Funktion und ${}b\in {\mathbb {K} }$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. Es ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b.$

2. Für jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ derart, dass für alle ${}x\in T$ mit ${}d(x,a)\leq \delta$ die Abschätzung ${}d(f(x),b)\leq \epsilon$ folgt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\frac {2x^{3}+3x^{2}-1}{x^{3}-x^{2}+x+3}}$

im Punkt ${}a=-1$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und ${}a\in \mathbb {R}$. Definiere die Begriffe „linksseitiger“ und „rechtsseitiger Grenzwert“ von ${}f$ in ${}a$ sowie den Begriff „Sprungstelle“.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der durch

${}b_{n}=2a_{n}^{4}-6a_{n}^{3}+a_{n}^{2}-5a_{n}+3\,$

definierten Folge, wobei

${}a_{n}={\frac {3n^{3}-5n^{2}+7}{4n^{3}+2n-1}}\,$

ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

$f(x)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

in keinem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

$a_{n}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {n}}-3}{3{\sqrt {n}}-2}}}$

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=f(-x)\,$

gilt.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=-f(-x)\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass man jede stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

als ${}f=g+h$ mit einer stetigen geraden Funktion ${}g$ und einer stetigen ungeraden Funktion ${}h$ schreiben kann.

Aufgabe (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge der stetigen Funktionen

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}f(\mathbb {Q} )\subseteq \mathbb {Q}$ überabzählbar ist.