Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 16
- Übungsaufgaben
Es sei eine konvergente Folge in . Wir betrachten auf einem reellen Intervall die Funktionenfolge
Zeige, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, und bestimme die Grenzfunktion.
Es sei eine konvergente Folge in . Wir betrachten die Funktionenfolge
Zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise, aber im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
Es sei eine Menge und seien
und
zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen. Zeige, dass auch die Summenfolge
gleichmäßig konvergent ist.
Zu betrachten wir die Funktionen
die durch
definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen stetig sind, und dass diese Funktionenfolge punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert.
Man gebe ein Beispiel einer Funktionenfolge
derart, dass sämtliche nicht stetig sind, die Funktionenfolge aber gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert.
Es sei eine Menge und
die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass ein komplexer Vektorraum ist.
Es sei eine Folge von komplexen Zahlen und die zugehörige Potenzreihe. Zeige, dass deren Konvergenzradius mit dem Konvergenzradius der um „verschobenen“ Potenzreihe
übereinstimmt.
Zeige, dass die Exponentialreihe auf nicht gleichmäßig konvergiert.
Es seien und Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum sei. Zeige die folgenden Aussagen.
- Die Potenzreihe mit ist konvergent auf und stellt dort die Summenfunktion dar.
- Die Potenzreihe mit ist konvergent auf und stellt dort die Produktfunktion dar.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Betrachte die Funktionenfolge
Zeige, dass diese Folge für punktweise konvergiert, und untersuche die Folge auf gleichmäßige Konvergenz für die verschiedenen Definitionsmengen
Aufgabe (4 Punkte)
Betrachte die Potenzreihe
Zeige, dass diese Potenzreihe den Konvergenzradius besitzt, und dass die Reihe noch für alle , , konvergiert.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Menge und
die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass die Supremumsnorm auf folgende Eigenschaften erfüllt.
- für alle .
- genau dann, wenn ist.
- Für und gilt
- Für gilt
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei
eine Potenzreihe, die für ein auf konvergiere und dort die Nullfunktion darstelle. Zeige, dass dann für alle ist (d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe).
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei und sei für jedes eine konvergente Folge
in gegeben, deren Limes mit bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge von Polynomen vom Grad , die durch
definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe gleichmäßig gegen
konvergiert.
<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I | >> |
---|