Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 49
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Aufgabe *
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
im Punkt .
Aufgabe *
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
im Punkt .
Aufgabe *
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
im Punkt .
Aufgabe
Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in oder Variablen für die Grade .
Aufgabe
Es sei
Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung im Punkt algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.
Aufgabe
Es sei ein Polynom in Variablen vom Grad . Zeige, dass mit dem Taylor-Polynom vom Grad von im Nullpunkt übereinstimmt.
In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.
Es sei und ein - Tupel natürlicher Zahlen. Es sei . Dann nennt man die Zahl
einen Polynomialkoeffizienten.
Aufgabe
In einem Studium werden Leistungsnachweise verlangt, und zwar Seminarscheine, Klausuren, mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?
Aufgabe
Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen
bei denen das Urbild zu aus genau Elementen besteht, gleich dem Multinomialkoeffizienten
ist.
Aufgabe
Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der -Tupel
in denen die Zahl genau -mal vorkommt, gleich
ist.
Aufgabe
Zeige, dass die Anzahl der geordneten Partitionen mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel einer -elementigen Menge gleich
ist.
Aufgabe
Es seien reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung
Aufgabe *
Es sei
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Menge sei. Zeige, dass für und die Beziehung
gilt.
Aufgabe
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und seien
zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Zeige durch ein Beispiel, dass das Taylor-Polynom zum Produkt im Punkt vom Grad nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von und in vom Grad sein muss.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung im Punkt algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und seien
zwei -mal stetig differenzierbare Funktionen mit den Taylor-Polynomen und in vom Grad . Zeige, dass das Produkt ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist, und dass für das Taylor-Polynom von in vom Grad die Beziehung
besteht, wobei der Subskript bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad genommen wird.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei offen, ein Punkt und
eine Funktion. Sei . Zeige, dass es maximal ein Polynom vom Grad mit der Eigenschaft geben kann, dass
gilt.
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