Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T4/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das uneigentliche Integral zu einer stetigen Funktion

   $f\colon [0,+\infty ]\longrightarrow \mathbb {R} .$

2. Eine Metrik auf einer Menge ${}M$.
3. Eine gleichmäßig stetige Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$.

4. Die Kurvenlänge einer Kurve

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

5. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   und einer stetig differenzierbaren Kurve

   $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

6. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ${}{\mathbb {C} }$).
7. Die Richtungsableitung einer Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ in Richtung eines Vektors ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$.

8. Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Banachsche Fixpunktsatz.
2. Die Formel für die Länge einer Kurve

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

3. Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld

   $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   gegebenes Anfangswertproblem.
4. Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.

Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)

Es sei ${}A$ eine nichtleere Menge, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}M=A^{n}$ das ${}n$-fache Produkt der Menge mit sich selbst.

a) Zeige, dass auf ${}M$ durch

${}d(x,y)=d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})):={\#\left({\left\{i\mid x_{i}\neq y_{i}\right\}}\right)}\,$

eine Metrik definiert wird.

b) Bestimme zu ${}A=\{a,b,c\}$ und ${}n=4$ den Abstand ${}d((a,a,b,c),(c,a,b,a))$.

c) Liste für ${}A=\{a,b,c\}$ und ${}n=3$ alle Elemente aus der offenen Kugel ${}U{\left((a,a,b),2\right)}$ auf.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und es seien

$f,g\colon L\longrightarrow M$

zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge

${}N={\left\{x\in L\mid f(x)=g(x)\right\}}\,$

abgeschlossen in ${}L$ ist.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Banachschen Fixpunktsatz.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beschreibe (ohne weitere Begründung) den Lauf des Sekundenzeigers einer Uhr als eine differenzierbare Kurve auf dem Einheitskreis (der Zeiger soll also im Zeitintervall ${}[0,60]$ eine Runde im Uhrzeigersinn drehen und zum Zeitpunkt ${}0$ „oben“ starten).

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)>0$ für ${}x\in [a,b]$. Zeige (die anschaulich klare Aussage), dass die Bogenlänge des Graphen von ${}f$ über ${}[a,b]$ mit der Bogenlänge des Graphen der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ über ${}[f(a),f(b)]$ übereinstimmt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Länge der durch

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$

gegebenen Schraubenlinie für ${}t$ zwischen ${}0$ und ${}b$, wobei ${}b\in \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ zum Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (y,x),$

längs des Weges

$\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,e^{t}).$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto e^{t}x{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},$

mit ${}\varphi (0)={\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ${}u\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Eigenvektor zu ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$. Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto ce^{\lambda t}u=c{\begin{pmatrix}e^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\e^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}},$

($c\in {\mathbb {K} }$) eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&-4\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere den Graphen der Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \vert {x+y}\vert .$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {\sin x}{x^{2}+y^{4}}},\,{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}},\,\ln(x^{2}+y^{2})\right),$

in jedem Punkt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige für Polynomfunktionen

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

direkt, dass

${}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestätige die Kettenregel für ${}g\circ f$ für die beiden differenzierbaren Abbildungen

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{3}-t,-t^{2}),$

und

$g\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy+x+y.$

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