Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Anhang B
- Lineare Abbildungen
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei , , eine Basis von und es seien , , Elemente in .
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
Da sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft
erfüllt, und jeder Vektor
sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine
Abbildung
indem wir jeden Vektor mit der gegebenen Basis als
schreiben und
ansetzen. Da die Darstellung von als eine solche
Linearkombination
eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren
und
gilt
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe
Aufgabe *****.
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei eine lineare Abbildung und eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
derart, dass ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Für jedes Element gibt es mindestens ein mit . Wegen der Kommutativität muss gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also zwei Urbilder von . Dann ist
und daher ist
.
Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Es seien
und seien
Urbilder davon. Dann ist ein Urbild von und daher ist
D.h. ist mit der Addition verträglich.
Es sei
mit einem Urbild
und sei
.
Dann ist ein Urbild von und daher ist
also ist auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.
- Lineare Gleichungssysteme
Es sei ein Körper und
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über .
Dann führen die folgenden Manipulationen an diesem Gleichungssystem zu einem äquivalenten Gleichungssystem.
- Das Vertauschen von zwei Gleichungen.
- Die Multiplikation einer Gleichung mit einem Skalar .
- Das einfache Weglassen einer Gleichung, die doppelt vorkommt.
- Das Verdoppeln einer Gleichung (im Sinne von eine Gleichung zweimal hinschreiben).
- Das Weglassen oder Hinzufügen einer Nullzeile (einer Nullgleichung).
- Das Ersetzen einer Gleichung durch diejenige Gleichung, die entsteht, wenn man zu eine andere Gleichung des Systems addiert.
Die meisten Aussagen sind direkt klar. (2) ergibt sich einfach daraus, dass wenn
gilt, dass dann auch
für jedes gilt. Bei kann man diesen Übergang durch Multiplikation mit rückgängig machen.
(6). Es sei die Gleichung
und die Gleichung
Wenn ein Tupel die beiden Gleichungen erfüllt, so erfüllt es auch die Gleichung . Und wenn das Tupel die beiden Gleichungen und erfüllt, so auch die Gleichung und .
- Elementarmatrizen
Elementare Zeilenumformungen ändern nicht den Lösungsraum von homogenen linearen Gleichungssystemen, wie in Fakt ***** gezeigt wurde.
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über .
Dann gibt es elementare Zeilenumformungen und eine (Neu-)Nummerierung der Spalten
und ein derart, dass in der entstandenen Matrix die Spalten die Gestalt
und
besitzen. Durch elementare Zeilenumformungen und zusätzliche Spaltenvertauschungen kann man also eine Matrix auf die Gestalt
mit bringen.
Ausgeschrieben sehen diese Elementarmatrizen folgendermaßen aus.
Es sei ein Körper und eine - Matrix mit Einträgen in . Dann hat die Multiplikation mit den - Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung.
- Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
- Multiplikation der -ten Zeile von mit .
- Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().
Beweis