Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Anhang E
- Restklassenräume
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und ein Untervektorraum.
Dann ist die durch
definierte Relation eine Äquivalenzrelation auf .
Wir gehen die Bedingungen einer Äquivalenzrelation durch. Die Reflexivität folgt aus , die Symmetrie folgt aus , die Transitivität ergibt sich so: Aus und folgt .
Wir können auf diese Äquivalenzrelation die allgemeinen Ergebnisse aus der zweiten Volesung des ersten Teils anwenden und erhalten eine surjektive Quotientenabbildung
(oder Identifizierungsabbildung oder kanonische Projektion)
Statt werden wir schreiben. Das Besondere an dieser Situation ist, dass diese Quotientenmenge selbst ein Vektorraum ist, und dass die kanonische Abbildung linear ist.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und ein Untervektorraum. Es sei die Menge der Äquivalenzklassen (die Quotientenmenge) zu der durch definierten Äquivalenzrelation auf und es sei
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte -Vektorraumstruktur auf derart, dass eine - lineare Abbildung ist.
Da die kanonische Projektion zu einer linearen Abbildung werden soll, muss die Addition durch
und die Skalarmultiplikation durch
gegeben sein. Insbesondere kann es also nur eine Vektorraumstruktur mit der gewünschten Eigenschaft geben, und wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschriften wohldefinierte Operationen auf definiert sind, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind. D.h. wir haben für und zu zeigen, dass ist. Nach Voraussetzung können wir und mit schreiben. Damit ist
und dies ist wegen äquivalent zu . Zur Skalarmultiplikation sei wieder mit . Dann ist
und das ist äquivalent zu . Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung linear ist.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und ein Untervektorraum. Dann nennt man die Menge der Äquivalenzklassen mit der in Fakt ***** bewiesenen Vektorraumstruktur den Restklassenraum (oder Quotientenraum) von modulo .
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei eine lineare Abbildung und eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
derart, dass ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Für jedes Element gibt es mindestens ein mit . Wegen der Kommutativität muss gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also zwei Urbilder von . Dann ist
und daher ist
.
Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Es seien
und seien
Urbilder davon. Dann ist ein Urbild von und daher ist
D.h. ist mit der Addition verträglich.
Es sei
mit einem Urbild
und sei
.
Dann ist ein Urbild von und daher ist
also ist auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.
Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt induzierte lineare Abbildung und entsprechend heißt der Satz auch der Satz über die induzierte Abbildung.
Es sei ein Körper und es sei
eine surjektive lineare Abbildung zwischen zwei - Vektorräumen.
Dann gibt es eine kanonische lineare Isomorphie
Wir wenden Satz Anhang B.2 auf und die kanonische Projektion an. Dies induziert eine lineare Abbildung
mit , die surjektiv ist. Sei und . Dann ist
also . Damit ist in , d.h. der Kern von ist trivial und nach Fakt ***** ist auch injektiv.
Es sei ein Körper und es sei
eine lineare Abbildung zwischen zwei - Vektorräumen.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei die kanonische Projektion, ein Vektorraum-Isomorphismus und die kanonische Inklusion des Bildraumes in ist.
Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:
- Bild Urbild modulo Kern.