Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 67/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren und die Determinante der durch die Vektoren definierten -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.
Es seien und drei Punkte im . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit dar.
Berechne das Volumen des von den drei Vektoren
im erzeugten Parallelotops.
Berechne das Volumen des von den drei Vektoren
im erzeugten Parallelotops.
(Tipp: Betrachte ).
Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung
derart, dass volumentreu, aber keine Isometrie ist.
Es sei
ein linearer Endomorphismus, der nicht bijektiv sei. Zeige, dass das Bildmaß nicht - endlich ist.
Es sei . Zeige, dass es eine positive reelle Zahl gibt derart, dass das -dimensionale Volumen einer abgeschlossenen Kugel im mit Radius und mit einem beliebigen Mittelpunkt gleich ist.
Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren
im erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).
Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren
im erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).
Berechne das Volumen des von den Vektoren
im erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne das Volumen des von den Vektoren
im erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren erzeugten „Pseudoparallelogramms“, also von
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine lineare Abbildung, die surjektiv, aber nicht injektiv sei. Zeige, dass das Bildmaß für jede Borelmenge durch
bestimmt ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei die Oberfläche der Einheitskugel. Zeige, dass das Volumen dieser Oberfläche ist.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
(Dabei ist mit dem Borel-Lebesgue-Maß versehen).
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien drei Vektoren gegeben und es sei
das davon erzeugte „Pseudoparallelogramm“. Zeige, dass der Flächeninhalt von gleich der Summe der Flächeninhalte der drei Parallelogramme ist, die von je zwei der beteiligten Vektoren aufgespannt werden.
<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III | >> |
---|