Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Vorlesung 58/latex

\setcounter{section}{58}

Um eine weitere wichtige Charakterisierung für Gradientenfelder beweisen zu können, müssen wir wissen, wie sich Integrale verhalten, die von Parametern abhängen.






\zwischenueberschrift{Differenzierbarkeit des Integrals}

Wir beginnen mit einem Beispiel.


\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten das Integral
\mathdisp {\int_1^2 t^x dt} { , }
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ > }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei. Eine Stammfunktion zu
\mathl{t \mapsto t^x}{} ist durch
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x+1 } } t^{x+1}}{} gegeben. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_1^2 t^x dt }
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ x+1 } } t^{x+1} \right) } {{|}}_1^2 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ x+1 } } { \left( 2^{x+1} -1 \right) } }
{ =} { g(x) }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Funktion
\mathl{g(x)}{} drückt den Wert des bestimmten Integrals zum Parameter $x$ aus. Ein Blick auf die Bauart zeigt, dass $g$ stetig und auch differenzierbar ist, und zwar ist nach der Produktregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(x) }
{ =} { { \frac{ -1 }{ (x+1)^2 } } { \left( 2^{x+1} -1 \right) } + { \frac{ 1 }{ x+1 } } { \left( { \left( \ln 2 \right) } 2^{x+1} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Andererseits kann man auch die Funktion $t^x$ nach $x$ ableiten und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } t^x }
{ =} { { \left( \ln t \right) } t^x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Eine Stammfunktion nach $t$ zu dieser Funktion findet man mittels partieller Integration, nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int { \left( \ln t \right) } t^x }
{ =} { { \left( \ln t \right) } { \frac{ t^{x+1} }{ x+1 } } - \int { \frac{ 1 }{ t } } \cdot { \frac{ t^{x+1} }{ x+1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und somit ist
\mathdisp {{ \frac{ \ln t }{ x+1 } } \cdot t^{x+1} - { \frac{ 1 }{ (x+1)^2 } } t^{x+1}} { }
eine Stammfunktion. Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_1^2 { \frac{ \partial }{ \partial x } } t^x dt }
{ =} { { \left( { \frac{ \ln t }{ x+1 } } \cdot t^{x+1} - { \frac{ 1 }{ (x+1)^2 } } t^{x+1} \right) } | _{ 1 } ^{ 2 } }
{ =} { { \frac{ \ln 2 }{ x+1 } } \cdot 2^{x+1} - { \frac{ 1 }{ (x+1)^2 } } 2^{x+1} + { \frac{ 1 }{ (x+1)^2 } } }
{ } { }
{ } {}
} {} {}{.} Dies stimmt mit der Ableitung von $g$ überein, d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x \mapsto \int_1^2 t^x dt \right) }' }
{ =} { \int_1^2 { \frac{ \partial }{ \partial x } } t^x dt }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dahinter verbirgt sich ein allgemeiner Zusammenhang, der in Satz 58.3 beschrieben wird.


}





\inputfaktbeweis
{Stetigkeit des Integrals/Parameter in metrischem Raum/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mathl{(X,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mathl{[a,b]}{} ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{.} Es sei \maabbeledisp {f} {X \times [a,b]} {\R } {(x,t)} {f(x,t) } {,} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die Funktion \maabbeledisp {} {X} {\R } {x} { \int_{ a }^{ b } f(x,t) \, d t } {,} stetig.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund von Satz 34.3 müssen wir für jede \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $X$ mit dem \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $x$ zeigen, dass die Folge der Integrale
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f(x_n,t) \, d t} { }
gegen
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f(x,t) \, d t} { }
konvergiert. Aufgrund von Lemma 23.15 genügt es zu zeigen, dass die Funktionenfolge
\mathl{f(x_n,-)}{} \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen
\mathl{f(x,-)}{} konvergiert.  Nehmen wir also an, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m }
{ \geq }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_m }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x_m, t_m) - f(x,t_m) } }
{ \geq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. So können wir eine Teilfolge
\mathl{(x_{n_k})_{k \in \N}}{} mit zugehörigen Punkten $t_{n_k}$ konstruieren, die diese Abstandbedingung erfüllen. Wegen Bolzano Weierstraß gibt es zu dieser Folge in
\mathl{[a,b]}{} eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{,} und durch Umbenennen können wir annehmen, dass die Folge
\mathl{(t_{n_k})_{k \in \N}}{} konvergiert, sagen wir gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen der Stetigkeit von $f$ und den Konvergenzeigenschaften gibt es ein $k_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \geq }{ k_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x_{n_k},t_{n_k}) - f(x,t ) } }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 3 } } \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x,t_{n_k} ) - f(x ,t) } }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 3 } } \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gelten. Damit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { f(x_{n_k},t_{n_k}) - f(x,t_{n_k}) } }
{ \leq} { \betrag { f(x_{n_k},t_{n_k}) - f(x,t ) } + \betrag { f(x ,t) - f(x,t_{n_k}) } }
{ \leq} { { \frac{ 2 \epsilon }{ 3 } } }
{ <} { \epsilon }
{ } { }
} {} {}{,} $$ ein Widerspruch.

}


Unter stärkeren Voraussetzungen hängen Integrale sogar differenzierbar von Parametern ab.




\inputfaktbeweis
{Integration und Differentiation/Vertauschbarkeit/Intervall/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ = }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $J$ reelle Intervalle, \maabbeledisp {f} {I \times J} {\R } {(t,x)} { f(t,x) } {,} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{,} die}
\faktvoraussetzung {in Richtung der Variablen $x$ stetig partiell differenzierbar sei.}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung \maabbeledisp {} {J} {\R } {x} { \int_a^b f(t,x) dt } {,} \zusatzklammer {nach $x$} {} {} differenzierbar und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \left( x \mapsto \int_a^b f(t,x) dt \right) } }
{ =} { \int_a^b { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(t,x) dt }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund der Differenzierbarkeit von
\mathl{f(t,x)}{} nach $x$ gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (s,p) }
{ \in }{ I \times J }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nach Satz 18.5 eine in $x$ stetige Funktion
\mathl{r_s(x)}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_s(p) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(s,x) }
{ =} { f(s,p) + { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(s,p) \right) } (x-p) + r_s(x) (x-p) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r(s,x) }
{ =} { r_s(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


Wir zeigen zuerst, dass diese Funktion in den zwei Variablen \mathkor {} {s} {und} {x} {} in jedem Punkt stetig ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{p }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r(s,x) }
{ =} { { \frac{ f (s,x) - f(s,p) }{ x-p } } - { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(s,p) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auflösen und erhält so die Stetigkeit, da ja die partielle Ableitung nach Voraussetzung stetig ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{p }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} verwenden wir das Folgenkriterium für die Stetigkeit. Es sei also
\mathl{\left( s_n , \, x_n \right)}{} eine Folge, die gegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(s,x) }
{ =} {(s,p) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} konvergiert. Wir können dabei annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ \neq }{p }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $n$ ist, da ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r(s_n,p) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \betrag { r(s_n,x_n) - r(s,p) } }
{ =} { \betrag { r(s_n,x_n) } }
{ =} { \betrag { { \frac{ f (s_n,x_n) - f(s_n,p) }{ x_n-p } } - { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(s_n,p) } }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu jedem $n$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n }
{ \in }{ [x_n,p] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f (s_n,x_n) - f(s_n,p) }{ x_n-p } } }
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(s_n,c_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist der obige Ausdruck gleich
\mathdisp {\betrag { { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(s_n, c_n) - { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(s_n,p) }} { . }
Wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitung und wegen
\mathl{c_n \rightarrow p}{} wird dies beliebig klein.

In der eingangs formulierten Identität sind also alle Bestandteile stetig. Daher kann man beidseitig über
\mathl{[a,b]}{} integrieren und erhält \zusatzklammer {\mathlk{x-p}{} ist in der Integration konstant} {} {}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_a^b f(t,x) dt }
{ =} { \int_a^b f(t,p) dt + (x-p) { \left( \int_a^b { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(t,p) dt \right) } + (x-p) \int_a^b r(t,x) dt }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Der Fehlerausdruck
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R(x) }
{ =} { \int_a^b r(t,x) dt }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist stetig in $x$, da
\mathl{r(t,x)}{} stetig ist und wegen der Stetigkeit des Integrals. Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R(p) }
{ = }{ \int_a^b r(t,p) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} sodass die Funktion
\mathl{x \mapsto \int_a^b f(t,x) dt}{} linear approximierbar und damit differenzierbar ist.

}





\inputfaktbeweis
{Integration und partielle Differentiation/Vertauschbarkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ = }{[a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein reelles Intervall,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine offene Teilmenge und \maabbdisp {f} {I \times U} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{,} die}
\faktvoraussetzung {in Richtung einer jeden Variablen
\mathbed {x_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} stetig partiell differenzierbar sei.}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung \maabbeledisp {} {U} {\R } {x} { \int_a^b f(t,x) dt } {,} partiell differenzierbar und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \left( x \mapsto \int_a^b f(t,x) dt \right) } }
{ =} { \int_a^b { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } f(t,x) dt }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt direkt aus Satz 58.3.

}






\zwischenueberschrift{Die Integrabilitätsbedingung}

Wie kann man erkennen, ob ein gegebenes Vektorfeld ein Gradientenfeld ist? Eine notwendige Bedingung schlägt sich in der folgenden Definition nieder.


\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und \maabbdisp {G} {U} {\R^n } {} ein \definitionsverweis {differenzierbares}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.} Man sagt, dass $G$ die \definitionswort {Integrabilitätsbedingung}{} erfüllt \zusatzklammer {oder \definitionswort {lokal integrabel}{} ist} {} {,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_i }{ \partial x_j } }(P) }
{ =} { { \frac{ \partial G_j }{ \partial x_i } }(P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und alle $i, j$ gilt.

}





\inputfaktbeweis
{Gradientenfeld/Integrabilitätsbedingung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Das \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} einer}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {zweimal stetig differenzierbaren}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{}}
\faktfolgerung {erfüllt die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt direkt aus Satz 44.10.

}





\inputbeispiel{}
{

Das lineare \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2} {\R^2 } { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { \begin{pmatrix} -y \\x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } {,} erfüllt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial y } } }
{ =} { -1 }
{ \neq} {1 }
{ =} { { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x } } }
{ } { }
} {}{}{} nicht die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.} Es kann also nach Lemma 58.6 kein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} sein.


}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Partieetoilee.PNG} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Partieetoilee.PNG } {} {} {fr Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}




\inputdefinition
{}
{

Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {sternförmig}{} bezüglich eines Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Verbindungsstrecke
\mathbed {sQ+(1-s) P} {}
{s \in [0,1]} {}
{} {} {} {,} ganz in $T$ liegt.

}





\inputfaktbeweis
{Teilmenge/R^n/Sternförmig/Gradientenfeld/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {sternförmige}{}{} \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und \maabbdisp {G} {U} {\R^n } {} ein \definitionsverweis {stetig differenzierbares}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$G$ ist ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.} }{$G$ erfüllt die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.} }{Für jeden \definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{} \maabb {\gamma} {[a,b]} {U } {} hängt das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma G}{} nur vom Anfangspunkt
\mathl{\gamma(a)}{} und Endpunkt
\mathl{\gamma(b)}{} ab. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Äquivalenz
\mathl{(1) \Longleftrightarrow (3)}{} folgt aus Satz 57.10 und die Implikation
\mathl{(1) \Longrightarrow (2)}{} aus Lemma 58.6. Es bleibt also
\mathl{(2) \Longrightarrow (1)}{} zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammfunktion $h$ zum Vektorfeld $G$ angeben. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt derart, dass $U$ bezüglich $P$ \definitionsverweis {sternförmig}{}{} ist. Wir definieren
\mathl{h (Q)}{} über das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zu $G$ zum linearen Verbindungsweg \maabbeledisp {\gamma} {[0,1] } { U } {t} { P+ t(Q-P) } {,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h (Q) }
{ \defeq} { \int_\gamma G }
{ =} { \int_0^1 \left\langle G(\gamma(t)) , Q-P \right\rangle dt }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir müssen zeigen, dass der \definitionsverweis {Gradient}{}{} zu $h$ gleich $G$ ist, d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial h }{ \partial x_i } } }
{ =} { G_i }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} zu zeigen. Dafür können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} annehmen und wir schreiben $v$ statt $Q$. Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } h (v) }
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \left( \int_0^1 \left\langle G(tv) , v \right\rangle dt \right) } }
{ =} { \int_0^1 { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } \left\langle G(tv) , v \right\rangle \right) } dt }
{ =} { \int_0^1 { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \left( \sum_{j=1}^n G_j(tv) \cdot v_j \right) } \right) } dt }
{ =} { \int_0^1 t \sum_{j= 1}^n v_j { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } G_j \right) } (tv) + G_i(tv) dt }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_0^1 t \sum_{j= 1}^n v_j { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } G_i \right) } (tv) + G_i(tv) dt }
{ =} { \int_0^1 { \left( t \mapsto t \cdot G_i(tv) \right) }^\prime dt }
{ =} { { \left( t \cdot G_i(tv) \right) } {{|}}_0^1 }
{ =} { G_i (v) }
} {}{.} Dabei beruht die zweite Gleichung auf der Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation \zusatzklammer {angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion \maabbele {} {[0,1] \times U} { \R } {(t,v)} { \left\langle G(tv) , v \right\rangle } {}} {} {,} die vierte Gleichung auf Aufgabe 43.11, die fünfte Gleichung auf der Integrabilitätsbedingung, die sechste Gleichung auf der Kettenregel und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der Newton-Leibniz-Formel.

}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2 } { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } { { \frac{ 1 }{ x^2+y^2 } } \begin{pmatrix} -y \\x \end{pmatrix} } {.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial y } } }
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \left( { \frac{ -y }{ x^2+y^2 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ -(x^2+y^2)+y(2y) }{ (x^2+y^2)^2 } } }
{ =} { { \frac{ -x^2+y^2 }{ (x^2+y^2)^2 } } }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x } } }
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \left( { \frac{ x }{ x^2+y^2 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ (x^2+y^2)-x(2x) }{ (x^2+y^2)^2 } } }
{ =} { { \frac{ -x^2+y^2 }{ (x^2+y^2)^2 } } }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt dieses Vektorfeld die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.} Es handelt sich aber nicht um ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{:} Das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur \zusatzklammer {geschlossenen} {} {} trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises \maabbeledisp {\gamma} {[0,2 \pi]} { \R^2 } {t} { \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} } {,} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\int_\gamma G }
{ =} { \int_0^{2 \pi} \left\langle G(\gamma(t)) , \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} \right\rangle dt }
{ =} { \int_0^{2 \pi} \left\langle \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} \right\rangle dt }
{ =} {\int_0^{2 \pi} \sin^{ 2 } t + \cos^{ 2 } t dt }
{ =} { \int_0^{2 \pi} 1 dt }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {2 \pi }
{ \neq} {0 }
{ } {}
{ } {}
} {}{} im Gegensatz zu Korollar 57.9.


}