Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Stammfunktionen zu rationalen Funktionen in der Exponentialfunktion}
Nachdem wir nun rationale Funktionen integrieren können, können wir auch für eine ganze Reihe von Funktionen eine Stammfunktion finden, die wir durch gewisse Standardsubstitutionen auf eine rationale Funktion zurückführen können.
\inputfaktbeweis
{Stammfunktion/Rationale Funktion in Exponentialfunktion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
in der
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{,}
d.h. es gebe Polynome
\mathbed {P,Q \in \R[X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ =} { { \frac{ P { \left( e^t \right) } }{ Q { \left( e^t \right) } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktfolgerung {Dann kann man durch die
Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{ \ln s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Integral
\mathl{\int_{ }^{ } f ( t) \, d t}{} auf das Integral einer rationalen Funktion zurückführen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Bei der Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{ \ln s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ dt
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ s } } ds
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und für die Polynome
\mathkor {} {P { \left( e^t \right) }} {und} {Q { \left( e^t \right) }} {}
ergeben sich
\mathdisp {P { \left( e^t \right) } =P { \left( e^{ \ln s } \right) } =P(s) \text{ und } Q { \left( e^t \right) } = Q{ \left( e^{ \ln s } \right) } =Q(s)} { . }
Insgesamt ergibt sich also die rationale Funktion
\mathl{\frac{P(s)}{s Q(s)}}{.} In deren Stammfunktion muss man dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ e^t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einsetzen.
Im vorstehenden Lemma geht es um die zusammengesetzten Funktionen vom Typ
\mathdisp {U \, \stackrel{ \exp }{\longrightarrow} \, \R \, \stackrel{ { \frac{ P }{ Q } } }{ \longrightarrow } \, \R} { , }
wobei der Definitionsbereich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ z \in \R \mid Q(e^z) \neq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegt ist.
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen eine Stammfunktion für die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ e^t+e^{3t} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
finden. Das in
Lemma 27.1
beschriebene Verfahren führt auf die rationale Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{ { \left( s+s^3 \right) } s}
}
{ =} {\frac{1}{s^2 { \left( s^2+1 \right) } }
}
{ =} {\frac{1}{s^2} - \frac{1}{s^2+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass die Partialbruchzerlegung direkt vorliegt. Die Stammfunktion von dieser rationalen Funktion ist
\mathdisp {- \frac{1}{s} - \arctan s} { . }
Die Stammfunktion von $f$ ist daher
\mathdisp {-\frac{1}{e^t} - \arctan e^t} { . }
}
Neben dem Polynomring
\mathl{K[X]}{} in einer Variablen über einem Körper $K$ gibt es auch Polynomringe in mehreren Variablen, wobei wir im Folgenden nur den Polynomring in zwei Variablen benötigen. Man schreibt ihn als
\mathl{K[X,Y]}{} und definiert ihn am einfachsten als
\mathdisp {(K[X])[Y]} { , }
wobei der Grundring
\mathl{K[X]}{} allerdings kein Körper ist. Jedenfalls besteht dieser Ring aus allen Polynomen in zwei Variablen, also aus Ausdrücken der Form
\mathdisp {a_{00} +a_{10}X +a_{01}Y + a_{20}X^2 +a_{11}XY + a_{02}Y^2 + a_{30}X^3 +a_{21}X^2Y + a_{12}XY^2 +a_{03}Y^3 + \ldots} { . }
Entsprechend gibt es auch rationale Funktionen in zwei Variablen. Diese sind wiederum Quotienten aus zwei Polynomen in zwei Variablen. Wenn man in eine solche Funktion in zwei Variablen zwei Funktionen in einer Variablen einsetzt, so erhält man wieder eine Funktion in einer Variablen. Dies ist der Fall in den folgenden Situationen.
\inputfaktbeweis
{Stammfunktion/Rationale Funktion in Hyperbelfunktionen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
in den
\definitionsverweis {Hyperbelfunktionen}{}{}
\mathkor {} {\sinh} {und} {\cosh} {}
gegeben, d.h. es gebe zwei Polynome
\mathkor {} {P} {und} {Q} {}
in zwei Variablen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ =} { { \frac{ P( \sinh t, \cosh t ) }{ Q( \sinh t, \cosh t ) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktfolgerung {Dann lässt sich das
\definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ }^{ } f ( t) \, d t} { }
auf das Integral einer rationalen Funktion in der Exponentialfunktion zurückführen und damit lösen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Mit
\mathdisp {\sinh t = { \frac{ e^t - e^{-t} }{ 2 } } \text{ und } \cosh t = { \frac{ e^t + e^{-t} }{ 2 } }} { }
erhält man eine rationale Funktion in
\mathkor {} {e^t} {und} {e^{-t} = { \left( e^t \right) }^{-1}} {,}
sodass insgesamt eine rationale Funktion in der Eponentialfunktion vorliegt. Deren Stammfunktion lässt sich wie in
Lemma 27.1
beschrieben finden.
\inputbeispiel{}
{
Wir berechnen eine Stammfunktion zum
\definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{}
mit der Methode aus
Korollar 27.3,
was in diesem Fall nicht der beste Ansatz ist.
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sinh t
}
{ =} { { \frac{ e^t - e ^{-t} }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( e^t \right) }^2- 1 }{ 2 e^t } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ e^t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
müssen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ s^2- 1 }{ 2 s } } \cdot { \frac{ 1 }{ s } }
}
{ =} { { \frac{ s^2- 1 }{ 2 s^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 1 - { \frac{ 1 }{ s^2 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
integrieren. Eine Stammfunktion davon ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( s + { \frac{ 1 }{ s } } \right) }} { . }
Rücksubstitution liefert schließlich die Stammfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( e^t + { \frac{ 1 }{ e^t } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( e^t + e^{-t} \right) }
}
{ =} { \cosh t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Stammfunktionen zu rationalen Funktionen in trigonometrischen Funktionen}
\inputfaktbeweis
{Stammfunktion/Rationale Funktion in trigonometrische Funktionen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen
\mathkor {} {\sin t} {und} {\cos t} {}
gegeben, d.h. es gebe zwei Polynome
\mathkor {} {P} {und} {Q} {}
in zwei Variablen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ =} { { \frac{ P( \sin t, \cos t ) }{ Q( \sin t, \cos t ) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktfolgerung {Dann führt die Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t
}
{ =} { 2 \arctan s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ }^{ } f ( t) \, d t} { }
auf das Integral einer rationalen Funktion zurück.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Bei der Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ 2 \arctan s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ \tan \frac{t}{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ dt
}
{ = }{ \frac{2}{1+s^2} ds
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus den trigonometrischen Funktionen wird unter Verwendung von
Satz 15.10
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sin t
}
{ =} { \sin \left( \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \right)
}
{ =} { 2 \sin \left( \frac{t}{2} \right) \cdot \cos { \left( \frac{t}{2} \right) }
}
{ =} { 2 \tan { \left( \frac{t}{2} \right) } \cdot \cos^{ 2 } { \left( \frac{t}{2} \right) }
}
{ =} { 2 \tan { \left( \frac{t}{2} \right) } \cdot \frac{ \cos^{ 2 } { \left( \frac{t}{2} \right) } }{ \cos^{ 2 } { \left( \frac{t}{2} \right) } + \sin^{ 2 } { \left( \frac{t}{2} \right) } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 2 \tan { \left( \frac{t}{2} \right) } \cdot \frac{ 1}{ 1 + \tan^{ 2 } { \left( \frac{t}{2} \right) } }
}
{ =} { 2s \frac{1}{1+s^2}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \cos t
}
{ =} { \cos { \left( \frac{t}{2} +\frac{t}{2} \right) }
}
{ =} { \cos^{ 2 } { \left( \frac{t}{2} \right) } - \sin^{ 2 } { \left( \frac{t}{2} \right) }
}
{ =} { 2 \cos^{ 2 } { \left( \frac{t}{2} \right) } -1
}
{ =} { 2 \cdot \frac{ 1}{ 1 + \tan^{ 2 } { \left( \frac{t}{2} \right) } } -1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 2 \frac{1}{1+s^2} -1
}
{ =} { \frac{1-s^2}{1+s^2}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Da sowohl das Differential $dt$ als auch die trigonometrischen Funktionen bei dieser Substitution rationale Ausdrücke in $s$ sind, liegt nach dieser Substitution insgesamt eine rationale Funktion vor.
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von
\mathdisp {\frac{1}{ \sin t }} { }
berechnet sich unter Verwendung von
Lemma 27.5
folgendermaßen.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ }^{ } \frac{1}{ \sin t } \, d t
}
{ =} { \int_{ }^{ } \frac{1+s^2}{2s} \cdot \frac{2}{1+s^2} \, d s
}
{ =} { \int_{ }^{ } \frac{1}{s} \, d s
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Stammfunktion von
\mathl{\frac{1}{ \sin t }}{} ist daher
\mathl{\ln { \left( \tan \frac{t}{2} \right) }}{.}
}
\zwischenueberschrift{Stammfunktionen zu rationalen Funktionen in Wurzelfunktionen}
\inputfaktbeweis
{Stammfunktion/Rationale Funktion in x und beliebiger Wurzel aus Quotient aus linearen Polynomen/Reduktion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
in
\mathkor {} {x} {und in} {\sqrt[n]{ { \frac{ ax+b }{ rx+s } } }} {}
\zusatzklammer {mit \mathlk{a,b,r,s \in \R,\, a,rx+s \neq 0, \, n \in \N_+}{}} {} {,}
d.h. es gebe Polynome in zwei Variablen,
\mathbed {P,Q \in \R[x,y]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} {\frac{P { \left( x,\sqrt[n]{ { \frac{ ax+b }{ rx+s } } } \right) } } {Q { \left( x,\sqrt[n]{ { \frac{ ax+b }{ rx+s } } } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktfolgerung {Dann kann man durch die
Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ su^n-b }{ a-ru^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Berechnung von
\mathl{\int f(x)dx}{} auf das Integral einer rationalen Funktion in $u$ zurückführen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir können
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ sa-rb
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen, da sonst Zähler und Nenner im Wurzelausdruck linear abhängig sind und man teilen könnte.
Bei der angegebenen Substitution ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sqrt[n]{ { \frac{ ax+b }{ rx+s } } }
}
{ =} { \sqrt[n]{ { \frac{ a { \frac{ su^n-b }{ a-ru^n } } +b }{ r { \frac{ su^n-b }{ a-ru^n } } +s } } }
}
{ =} { \sqrt[n]{ { \frac{ a (su^n-b) + b (a-ru^n) }{ r (su^n-b) +s( a-ru^n) } } }
}
{ =} { \sqrt[n]{ { \frac{ a su^n-bru^n }{ -rb + s a } } }
}
{ =} { u
}
}
{}
{}{.}
Da die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der rationalen Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ { \frac{ su^n-b }{ a-ru^n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach $u$ wieder eine rationale Funktion in $u$ ist, ist das Gesamtergebnis nach dieser Substitution eine rationale Funktion in $u$.
\inputfaktbeweis
{Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
in
\mathkor {} {x} {und in} {\sqrt{ax^2+bx+c}} {}
\zusatzklammer {mit \mathlk{a,b,c \in \R,\, a \neq 0}{} und so, dass \mathlk{ax^2+bx+c}{} auch positive Werte annimmt} {} {,}
schreiben kann, d.h. es gebe Polynome in zwei Variablen,
\mathbed {P,Q \in \R[X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \frac{P { \left( x,\sqrt{ax^2+bx+c} \right) } } {Q { \left( x,\sqrt{ax^2+bx+c} \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktfolgerung {Dann kann man durch eine
Substitution
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { \alpha t + \beta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{\alpha, \beta \in \R,\, \alpha \neq 0}{}} {} {,}
die Berechnung von
\mathl{\int f(x)dx}{} auf ein Integral der Form
\aufzaehlungdrei{
\mathl{\int R{ \left( t, \sqrt{1-t^2} \right) }dt}{,}
}{
\mathl{\int R { \left( t, \sqrt{t^2-1} \right) } dt}{,}
}{
\mathl{\int R { \left( t, \sqrt{t^2+1} \right) } dt}{,}
}
zurückführen, wobei $R$ wieder eine rationale Funktion in zwei Variablen ist.}
\faktzusatz {In diesen drei Fällen führen die Substitutionen
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ \sin s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ \cosh s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ \sinh s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}
auf das Integral über eine rationale Funktion in
\definitionsverweis {trigonometrischen Funktionen}{}{}
bzw. in
\definitionsverweis {Hyperbelfunktionen}{}{}}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Durch eine
Substitution
der Form
\mathkor {} {u= \sqrt{a} x} {bzw.} {u= \sqrt{-a} x} {}
vereinfacht sich die Quadratwurzel zu
\mathkor {} {\sqrt{u^2+\tilde{b} u+ \tilde{c} }} {bzw. zu} {\sqrt{-u^2+ \tilde{b} u+\tilde{c} }} {.}
Quadratisches Ergänzen führt zu
\mathkor {} {\sqrt{v^2+ \tilde{e} }} {bzw.} {\sqrt{- v^2 + \tilde{e} }} {.}
Durch eine weitere Substitution der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ { \frac{ v }{ \sqrt{ \betrag { \tilde{e} } } } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erhält man
\mathkor {} {\sqrt{ \tilde{e} } \sqrt{ w^2 +1 }} {oder} {\sqrt{ - \tilde{e} } \sqrt{ w^2 - 1 }} {}
oder aber\zusatzfussnote {Der Fall \mathlk{\sqrt{ - w^2 - 1 }}{} ist nicht möglich, da dann die ursprüngliche Funktion für keine reelle Zahl definiert wäre} {.} {}
\mathl{\sqrt{ \tilde{e} } \sqrt{ - w^2 +1 }}{.}
Dies sind alles affin-lineare Substitutionen. Die Ergebnisse unter der Gesamtsubstitution sind von der angegebenen Art.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn es sich um ein Integral zu einer rationalen Funktion der Form
\mathdisp {R { \left( t, \sqrt{1-t^2} \right) }} { }
handelt, so führt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{ \sin s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{1-t^2}
}
{ =} { \sqrt{1- \sin^{ 2 } s }
}
{ =} { \sqrt{ \cos^{ 2 } s }
}
{ =} { \cos s
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ dt
}
{ =} { { \left( \sin s \right) }' ds
}
{ =} { \cos s ds
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass sich eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen
\mathkor {} {\sin s} {und} {\cos s} {}
ergibt.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Bei einem Integral zu einer rationalen Funktion der Form
\mathdisp {R { \left( t, \sqrt{t^2-1} \right) }} { }
führt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{ \cosh s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {unter Verwendung von
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \cosh^{ 2 } s - \sinh^{ 2 } s
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
siehe
Aufgabe 20.51} {} {}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{t^2-1}
}
{ =} { \sinh s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ dt
}
{ =} { (\cosh s)' ds
}
{ =} { \sinh s ds
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass sich eine rationale Funktion in den Hyperbelfunktionen
\mathkor {} {\sinh s} {und} {\cosh s} {}
ergibt.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Bei einem Integral zu einer rationalen Funktion der Form
\mathdisp {R { \left( t, \sqrt{t^2+1} \right) }} { }
führt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ \sinh s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{t^2+1}
}
{ =} { \cosh s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ dt
}
{ =} { (\sinh s)' ds
}
{ =} { \cosh s ds
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass sich wieder eine rationale Funktion in den Hyperbelfunktionen
\mathkor {} {\sinh s} {und} {\cosh s} {}
ergibt.}
{}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen für die Funktion
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ t^2 \sqrt{1-t^2}^3 } }} { }
eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
bestimmen. Mit der in
Lemma 27.8
beschriebenen
Substitution
\mathdisp {t = \sin s \text{ und } dt= \cos s ds} { }
werden wir auf die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \sin^{ 2 } s \cdot \cos^{ 3 } s } } \cdot \cos s
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sin^{ 2 } s \cdot \cos^{ 2 } s } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
geführt. Mit der in
Lemma 27.5
beschriebenen Substitution
\mathlistvierdisp {s =2 \arctan u} {} {ds = { \frac{ 2 }{ 1+u^2 } } du} {} {\sin s = { \frac{ 2u }{ 1+u^2 } }} {und} {\cos s = { \frac{ 1-u^2 }{ 1+u^2 } }}
werden wir auf die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \frac{ { \left( 1+u^2 \right) }^2 }{ 4u^2 } } \cdot { \frac{ { \left( 1+u^2 \right) }^2 }{ { \left( 1-u^2 \right) }^2 } } \cdot { \frac{ 2 }{ 1+u^2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( 1+u^2 \right) }^3 }{ 2u^2 { \left( 1-u \right) }^2 { \left( 1+u \right) }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ u^6+3u^4+3u^2+1 }{ 2u^6-4u^4+2u^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
geführt. Hierfür müssen wir die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
finden. Die
Division mit Rest
ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u^6+3u^4+3u^2+1
}
{ =} { { \left( 2u^6-4u^4+2u^2 \right) } { \frac{ 1 }{ 2 } } + 5u^4+2u^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass es also um die rationale Funktion
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 5u^4+2u^2+1 }{ 2u^6-4u^4+2u^2 } }} { }
geht. Diese Funktion ist eine rationale Funktion in
\mathl{v=u^2}{,} sodass wir zuerst die Partialbruchzerlegung von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ { \frac{ 5 }{ 2 } } v^2 +v+ { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ v^3-2v^2+v } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 5 }{ 2 } } v^2 +v+ { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ v (v-1)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bestimmen. Der Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ { \frac{ 5 }{ 2 } } v^2 +v+ { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ v (v-1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ a }{ v } } + { \frac{ b }{ v-1 } } + { \frac{ c }{ (v-1)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5 }{ 2 } } v^2 +v+ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { a (v-1)^2 +b v(v-1) + c v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Einsetzen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
führt zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und
\mathdisp {{ \frac{ 25 }{ 2 } } = a+ 2b +2c = { \frac{ 1 }{ 2 } } +2b + 8 ,\, \text{ also } b =2} { . }
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ { \frac{ 5 }{ 2 } } v^2 +v+ { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ v (v-1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ v } } + { \frac{ 2 }{ v-1 } } + { \frac{ 4 }{ (v-1)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ { \frac{ 5 }{ 2 } } u^4 +u^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ u^2 (u^2-1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ u^2 } } + { \frac{ 2 }{ u^2-1 } } + { \frac{ 4 }{ (u^2-1)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit den Identitäten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ u^2-1 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ u-1 } } - { \frac{ 1 }{ u+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 4 }{ { \left( u^2-1 \right) }^2 } }
}
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ u-1 } } - { \frac{ 1 }{ u+1 } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \left( u-1 \right) }^2 } } + { \frac{ 1 }{ { \left( u+1 \right) }^2 } } - { \frac{ 2 }{ (u-1)(u+1) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \left( u-1 \right) }^2 } } + { \frac{ 1 }{ { \left( u+1 \right) }^2 } } - { \frac{ 1 }{ u-1 } } + { \frac{ 1 }{ u+1 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
ergibt sich schließlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ { \frac{ 5 }{ 2 } } u^4 +u^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ u^2 { \left( u^2-1 \right) }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ u^2 } } + { \frac{ 1 }{ (u-1)^2 } } + { \frac{ 1 }{ (u+1)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 5u^4+2u^2+1 }{ 2u^6-4u^4+2u^2 } }} { }
ist daher
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } u - { \frac{ 1 }{ 2 u } } - { \frac{ 1 }{ u-1 } } - { \frac{ 1 }{ u+1 } }} { . }
Daher ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \tan { \left( { \frac{ s }{ 2 } } \right) }-{ \frac{ 1 }{ 2 } } { \frac{ 1 }{ \tan { \left( { \frac{ s }{ 2 } } \right) } } } - { \frac{ 1 }{ \tan { \left( { \frac{ s }{ 2 } } \right) } -1 } } - { \frac{ 1 }{ \tan { \left( { \frac{ s }{ 2 } } \right) } +1 } }} { }
eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sin^{ 2 } s \cdot \cos^{ 2 } s } }} { , }
und
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \tan { \left( { \frac{ \arcsin t }{ 2 } } \right) } - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \frac{ 1 }{ \tan { \left( { \frac{ \arcsin t }{ 2 } } \right) } } } - { \frac{ 1 }{ \tan { \left( { \frac{ \arcsin t }{ 2 } } \right) } -1 } } - { \frac{ 1 }{ \tan { \left( { \frac{ \arcsin t }{ 2 } } \right) } +1 } }} { }
ist eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ t^2 \sqrt{1-t^2}^3 } }} { . }
}