Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Vorlesung 58/latex
\setcounter{section}{58}
Um eine weitere wichtige Charakterisierung für Gradientenfelder beweisen zu können, müssen wir wissen, wie sich Integrale verhalten, die von Parametern abhängen.
\zwischenueberschrift{Differenzierbarkeit des Integrals}
Wir beginnen mit einem Beispiel.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das Integral
\mathdisp {\int_1^2 t^x dt} { , }
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei. Eine Stammfunktion zu
\mathl{t \mapsto t^x}{} ist durch
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x+1 } } t^{x+1}}{} gegeben. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_1^2 t^x dt
}
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ x+1 } } t^{x+1} \right) } {{|}}_1^2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x+1 } } { \left( 2^{x+1} -1 \right) }
}
{ =} { g(x)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Funktion
\mathl{g(x)}{} drückt den Wert des bestimmten Integrals zum Parameter $x$ aus. Ein Blick auf die Bauart zeigt, dass $g$ stetig und auch differenzierbar ist, und zwar ist nach der
Produktregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(x)
}
{ =} { { \frac{ -1 }{ (x+1)^2 } } { \left( 2^{x+1} -1 \right) } + { \frac{ 1 }{ x+1 } } { \left( { \left( \ln 2 \right) } 2^{x+1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Andererseits kann man auch die Funktion $t^x$ nach $x$ ableiten und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } t^x
}
{ =} { { \left( \ln t \right) } t^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine Stammfunktion nach $t$ zu dieser Funktion findet man mittels
partieller Integration,
nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int { \left( \ln t \right) } t^x
}
{ =} { { \left( \ln t \right) } { \frac{ t^{x+1} }{ x+1 } } - \int { \frac{ 1 }{ t } } \cdot { \frac{ t^{x+1} }{ x+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und somit ist
\mathdisp {{ \frac{ \ln t }{ x+1 } } \cdot t^{x+1} - { \frac{ 1 }{ (x+1)^2 } } t^{x+1}} { }
eine Stammfunktion. Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_1^2 { \frac{ \partial }{ \partial x } } t^x dt
}
{ =} { { \left( { \frac{ \ln t }{ x+1 } } \cdot t^{x+1} - { \frac{ 1 }{ (x+1)^2 } } t^{x+1} \right) } | _{ 1 } ^{ 2 }
}
{ =} { { \frac{ \ln 2 }{ x+1 } } \cdot 2^{x+1} - { \frac{ 1 }{ (x+1)^2 } } 2^{x+1} + { \frac{ 1 }{ (x+1)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Dies stimmt mit der Ableitung von $g$ überein, d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x \mapsto \int_1^2 t^x dt \right) }'
}
{ =} { \int_1^2 { \frac{ \partial }{ \partial x } } t^x dt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dahinter verbirgt sich ein allgemeiner Zusammenhang, der in
Satz 58.3
beschrieben wird.
}
\inputfaktbeweis
{Stetigkeit des Integrals/Parameter in metrischem Raum/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(X,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{.}
Es sei
\maabbeledisp {f} {X \times [a,b]} {\R
} {(x,t)} {f(x,t)
} {,}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die Funktion
\maabbeledisp {} {X} {\R
} {x} { \int_{ a }^{ b } f(x,t) \, d t
} {,}
stetig.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Lemma 34.3
müssen wir für jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $X$ mit dem
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
$x$ zeigen, dass die Folge der Integrale
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f(x_n,t) \, d t} { }
gegen
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f(x,t) \, d t} { }
konvergiert. Aufgrund von
Lemma 23.16
genügt es zu zeigen, dass die Funktionenfolge
\mathl{f(x_n,-)}{}
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen
\mathl{f(x,-)}{} konvergiert.
Nehmen wir also an, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \geq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_m
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x_m, t_m) - f(x,t_m) }
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. So können wir eine Teilfolge
\mathl{(x_{n_k})_{k \in \N}}{} mit zugehörigen Punkten $t_{n_k}$ konstruieren, die diese Abstandbedingung erfüllen. Wegen
Bolzano Weierstraß
gibt es zu dieser Folge in
\mathl{[a,b]}{} eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{,}
und durch Umbenennen können wir annehmen, dass die Folge
\mathl{(t_{n_k})_{k \in \N}}{} konvergiert, sagen wir gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Stetigkeit von $f$ und den Konvergenzeigenschaften gibt es ein $k_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \geq }{ k_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x_{n_k},t_{n_k}) - f(x,t ) }
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 3 } } \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x,t_{n_k} ) - f(x ,t) }
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 3 } } \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten. Damit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { f(x_{n_k},t_{n_k}) - f(x,t_{n_k}) }
}
{ \leq} { \betrag { f(x_{n_k},t_{n_k}) - f(x,t ) } + \betrag { f(x ,t) - f(x,t_{n_k}) }
}
{ \leq} { { \frac{ 2 \epsilon }{ 3 } }
}
{ <} { \epsilon
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
$$ ein Widerspruch.
Unter stärkeren Voraussetzungen hängen Integrale sogar differenzierbar von Parametern ab.
\inputfaktbeweis
{Integration und Differentiation/Vertauschbarkeit/Intervall/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $J$ reelle Intervalle,
\maabbeledisp {f} {I \times J} {\R
} {(t,x)} { f(t,x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{,}
die}
\faktvoraussetzung {in Richtung der Variablen $x$ stetig partiell differenzierbar sei.}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {} {J} {\R
} {x} { \int_a^b f(t,x) dt
} {,}
\zusatzklammer {nach $x$} {} {}
differenzierbar und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \left( x \mapsto \int_a^b f(t,x) dt \right) }
}
{ =} { \int_a^b { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(t,x) dt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund der Differenzierbarkeit von
\mathl{f(t,x)}{} nach $x$ gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (s,p)
}
{ \in }{ I \times J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Satz 18.5
eine in $x$ stetige Funktion
\mathl{r_s(x)}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_s(p)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(s,x)
}
{ =} { f(s,p) + { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(s,p) \right) } (x-p) + r_s(x) (x-p)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r(s,x)
}
{ =} { r_s(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir zeigen zuerst, dass diese Funktion in den zwei Variablen
\mathkor {} {s} {und} {x} {}
in jedem Punkt stetig ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r(s,x)
}
{ =} { { \frac{ f (s,x) - f(s,p) }{ x-p } } - { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(s,p)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auflösen und erhält so die Stetigkeit, da ja die partielle Ableitung nach Voraussetzung stetig ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verwenden wir das
Folgenkriterium
für die Stetigkeit. Es sei also
\mathl{\left( s_n , \, x_n \right)}{} eine Folge, die gegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(s,x)
}
{ =} {(s,p)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konvergiert. Wir können dabei annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \neq }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$ ist, da ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r(s_n,p)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \betrag { r(s_n,x_n) - r(s,p) }
}
{ =} { \betrag { r(s_n,x_n) }
}
{ =} { \betrag { { \frac{ f (s_n,x_n) - f(s_n,p) }{ x_n-p } } - { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(s_n,p) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Nach
dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung
gibt es zu jedem $n$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ \in }{ [x_n,p]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f (s_n,x_n) - f(s_n,p) }{ x_n-p } }
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(s_n,c_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist der obige Ausdruck gleich
\mathdisp {\betrag { { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(s_n, c_n) - { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(s_n,p) }} { . }
Wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitung und wegen
\mathl{c_n \rightarrow p}{} wird dies beliebig klein.
In der eingangs formulierten Identität sind also alle Bestandteile stetig. Daher kann man beidseitig über
\mathl{[a,b]}{} integrieren und erhält
\zusatzklammer {\mathlk{x-p}{} ist in der Integration konstant} {} {}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_a^b f(t,x) dt
}
{ =} { \int_a^b f(t,p) dt + (x-p) { \left( \int_a^b { \frac{ \partial }{ \partial x } } f(t,p) dt \right) } + (x-p) \int_a^b r(t,x) dt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Fehlerausdruck
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R(x)
}
{ =} { \int_a^b r(t,x) dt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist stetig in $x$, da
\mathl{r(t,x)}{} stetig ist und wegen
der Stetigkeit des Integrals.
Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R(p)
}
{ = }{ \int_a^b r(t,p)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass die Funktion
\mathl{x \mapsto \int_a^b f(t,x) dt}{} linear approximierbar und damit differenzierbar ist.
\inputfaktbeweis
{Integration und partielle Differentiation/Vertauschbarkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{[a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein reelles Intervall,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Teilmenge und
\maabbdisp {f} {I \times U} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{,}
die}
\faktvoraussetzung {in Richtung einer jeden Variablen
\mathbed {x_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
stetig partiell differenzierbar sei.}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {} {U} {\R
} {x} { \int_a^b f(t,x) dt
} {,}
partiell differenzierbar und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \left( x \mapsto \int_a^b f(t,x) dt \right) }
}
{ =} { \int_a^b { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } f(t,x) dt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 58.3.
\zwischenueberschrift{Die Integrabilitätsbedingung}
Wie kann man erkennen, ob ein gegebenes Vektorfeld ein Gradientenfeld ist? Eine notwendige Bedingung schlägt sich in der folgenden Definition nieder.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {G} {U} {\R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {differenzierbares}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.}
Man sagt, dass $G$ die
\definitionswort {Integrabilitätsbedingung}{}
erfüllt
\zusatzklammer {oder
\definitionswort {lokal integrabel}{} ist} {} {,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_i }{ \partial x_j } }(P)
}
{ =} { { \frac{ \partial G_j }{ \partial x_i } }(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle $i, j$ gilt.
}
\inputfaktbeweis
{Gradientenfeld/Integrabilitätsbedingung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Das
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
einer}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {zweimal stetig differenzierbaren}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}}
\faktfolgerung {erfüllt die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 44.10.
\inputbeispiel{}
{
Das lineare
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {G} {\R^2} {\R^2
} { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { \begin{pmatrix} -y \\x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
} {,}
erfüllt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial y } }
}
{ =} { -1
}
{ \neq} {1
}
{ =} { { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.}
Es kann also nach
Lemma 58.6
kein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
sein.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Partieetoilee.PNG} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Partieetoilee.PNG } {} {} {fr Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {sternförmig}{}
bezüglich eines Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Verbindungsstrecke
\mathbed {sQ+(1-s) P} {}
{s \in [0,1]} {}
{} {} {} {,}
ganz in $T$ liegt.
}
\inputfaktbeweis
{Teilmenge/R^n/Sternförmig/Gradientenfeld/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {G} {U} {\R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbares}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$G$ ist ein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.}
}{$G$ erfüllt die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.}
}{Für jeden
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{}
\maabb {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
hängt das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma G}{} nur vom Anfangspunkt
\mathl{\gamma(a)}{} und Endpunkt
\mathl{\gamma(b)}{} ab.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz
\mathl{(1) \Longleftrightarrow (3)}{} folgt aus
Satz 57.10
und die Implikation
\mathl{(1) \Longrightarrow (2)}{} aus
Lemma 58.6.
Es bleibt also
\mathl{(2) \Longrightarrow (1)}{} zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammfunktion $h$ zum Vektorfeld $G$ angeben. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt derart, dass $U$ bezüglich $P$
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist. Wir definieren
\mathl{h (Q)}{} über das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
zu $G$ zum linearen Verbindungsweg
\maabbeledisp {\gamma} {[0,1] } { U
} {t} { P+ t(Q-P)
} {,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h (Q)
}
{ \defeq} { \int_\gamma G
}
{ =} { \int_0^1 \left\langle G(\gamma(t)) , Q-P \right\rangle dt
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass der
\definitionsverweis {Gradient}{}{}
zu $h$ gleich $G$ ist, d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial h }{ \partial x_i } }
}
{ =} { G_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
zu zeigen. Dafür können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen und wir schreiben $v$ statt $Q$. Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } h (v)
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \left( \int_0^1 \left\langle G(tv) , v \right\rangle dt \right) }
}
{ =} { \int_0^1 { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } \left\langle G(tv) , v \right\rangle \right) } dt
}
{ =} { \int_0^1 { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \left( \sum_{j=1}^n G_j(tv) \cdot v_j \right) } \right) } dt
}
{ =} { \int_0^1 t \sum_{j= 1}^n v_j { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } G_j \right) } (tv) + G_i(tv) dt
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_0^1 t \sum_{j= 1}^n v_j { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } G_i \right) } (tv) + G_i(tv) dt
}
{ =} { \int_0^1 { \left( t \mapsto t \cdot G_i(tv) \right) }^\prime dt
}
{ =} { { \left( t \cdot G_i(tv) \right) } {{|}}_0^1
}
{ =} { G_i (v)
}
}
{}{.}
Dabei beruht die zweite Gleichung auf
der Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation
\zusatzklammer {angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion
\maabbele {} {[0,1] \times U} { \R
} {(t,v)} { \left\langle G(tv) , v \right\rangle
} {}} {} {,}
die vierte Gleichung auf
Aufgabe 43.14,
die fünfte Gleichung auf der Integrabilitätsbedingung, die sechste Gleichung auf der
Kettenregel
und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der
Newton-Leibniz-Formel.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {G} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2
} { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } { { \frac{ 1 }{ x^2+y^2 } } \begin{pmatrix} -y \\x \end{pmatrix}
} {.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial y } }
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \left( { \frac{ -y }{ x^2+y^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ -(x^2+y^2)+y(2y) }{ (x^2+y^2)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ -x^2+y^2 }{ (x^2+y^2)^2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x } }
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \left( { \frac{ x }{ x^2+y^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ (x^2+y^2)-x(2x) }{ (x^2+y^2)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ -x^2+y^2 }{ (x^2+y^2)^2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt dieses Vektorfeld die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.}
Es handelt sich aber nicht um ein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{:}
Das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
zur
\zusatzklammer {geschlossenen} {} {}
trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises
\maabbeledisp {\gamma} {[0,2 \pi]} { \R^2
} {t} { \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}
} {,}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\int_\gamma G
}
{ =} { \int_0^{2 \pi} \left\langle G(\gamma(t)) , \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} \right\rangle dt
}
{ =} { \int_0^{2 \pi} \left\langle \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} \right\rangle dt
}
{ =} {\int_0^{2 \pi} \sin^{ 2 } t + \cos^{ 2 } t dt
}
{ =} { \int_0^{2 \pi} 1 dt
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {2 \pi
}
{ \neq} {0
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
im Gegensatz zu
Korollar 57.9.
}