Kurs:Analysis 3/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	6	0	3	0	0	4	0	0	5	7	7	4	5	0	47

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Mengenalgebra auf einer Menge ${}M$.
2. Eine Schrumpfung für eine Teilmenge ${}T\subseteq M$.
3. Die Fortsetzung eines äußeren Maßes

   $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   auf einem Präring ${}{\mathcal {P}}$ auf einer Menge ${}M$.

4. Der Limes inferior zu einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
5. Eine differenzierbare Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.

6. Eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

   auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
2. Der Satz über die Integration des Produkts von zwei Funktionen über einem Produktraum.
3. Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und sei ${}{\mathcal {A}}$ die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen

$(U_{1}\cap A_{1})\cup (U_{2}\cap A_{2})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n})$

mit offenen Mengen ${}U_{1},\ldots ,U_{n}$ und abgeschlossenen Mengen ${}A_{1},\ldots ,A_{n}$ besteht.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto t+{\sqrt {t}}+1,$

um die ${}t$-Achse rotieren lässt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Tangentialabbildung ${}T(\varphi )$ zu

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{1}\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$

surjektiv ist.

Aufgabe * (7 (1+2+4) Punkte)

a) Man gebe eine topologische Eigenschaft an, die zeigt, dass das offene Einheitsintervall und die Kreissphäre ${}S^{1}$ nicht homöomorph sind.

b) Zeige, dass jede stetige ${}1$- Differentialform auf ${}]0,1[$ exakt ist.

c) Man gebe eine konkrete geschlossene ${}1$-Form auf ${}S^{1}$ an, die nicht exakt ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform ${}\omega$. Zeige, dass

${}\int _{M}\omega <\infty \,$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen ${}\mathbb {R} ^{1}$ besteht.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Wir fassen den Subgraphen als eine Mannigfaltigkeit mit Rand auf, wobei der Rand aus dem Graphen, dem Grundintervall und den beiden Seitenkanten, aber ohne die vier Eckpunkte besteht. Bestätige den Satz von Stokes direkt für die Differentialform ${}\omega =xdy$.

Aufgabe (0 Punkte)