Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 12

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ und ${}(\varphi (g))^{-1}=\varphi (g^{-1})$ für jedes ${}g\in G$ ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei ${}a\in \mathbb {Z}$ . Zeige, dass

\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto ax,

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K_{+}$ ein positives Element. Zeige, dass die ganzzahlige Exponentialfunktion

\mathbb {Z} \longrightarrow (K\setminus \{0\},\cdot ,1),\,n\longmapsto b^{n},

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe *

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

{}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,

die Menge aller invertierbaren ${}2\times 2$ - Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass ${}M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei ${}n\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass das Potenzieren

G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x^{n},

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente ${}g\in G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1)

entsprechen.

Aufgabe

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ .

Kommentar:

Dies ist ein Spezialfall von Aufgabe 12.9 und geht ähnlich. Man muss zeigen, dass jeder Gruppenhomomorphismus

\psi \colon (\mathbb {Q} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)

die triviale Abbildung ist, d.h. ${}\psi (a)=0$ für alle ${}a\in \mathbb {Q}$ . Die Grundidee ist einfach. Nehmen wir an, dass

{}\psi (a)\neq 0\,

ist, wobei ${}a$ eine rationale Zahl ist. Innerhalb der rationalen Zahlen kann man beliebig dividieren, insbesondere kann man halbieren. Es ist

{}a={\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}\,

und somit gilt

{}\psi (a)=\psi {\left({\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}\right)}=\psi {\left({\frac {a}{2}}\right)}+\psi {\left({\frac {a}{2}}\right)}\,,

was bedeutet, dass man auch das Bild ${}\psi (a)$ in ${}\mathbb {Z}$ halbieren kann. SO kann man weitermachen und erhält, dass man ${}\psi (a)$ in ${}\mathbb {Z}$ durch ${}4$ , durch ${}8$ , durch ${}12$ ... teilen kann, was zu einem Widerspruch führt.

Hier kann man auch eine ähnliche Idee wie in Aufgabe 12.7 verwenden: jeder solche Gruppenhomomorphismus ${}\psi$ ist durch ${}\psi (1)$ eindeutig festgelegt. In der Tat folgt durch Induktion, dass ${}\psi (na)=n\psi (a)$ für alle positive ganze Zahl ${}n$ und alle ${}a\in \mathbb {Q}$ . Wegen

0=\psi (0)=\psi (na)+\psi (-na),

erhält man ${}\psi (-na)=-\psi (na)=-n\psi (a)$ . Somit gilt ${}\psi (na)=n\psi (a)$ für alle ${}n\in \mathbb {Z}$ und alle ${}a\in \mathbb {Q}$ . Insbesondere gilt für ${}a=1/n$ , dass ${}\psi (1)=n\psi (1/n)$ , also ${}\psi (1/n)=\psi (1)/n$ . Sei nun ein beliebiges ${}r=m/n\in \mathbb {Q}$ mit ${}m,n\in \mathbb {Z}$ , ${}n\neq 0$ gegeben. Dann gilt

\psi (r)=\psi (m/n)=m\psi (1/n)=(m/n)\psi (1)=r\psi (1).

Daher kann ${}\psi$ durch ${}\psi (1)$ bestimmt werden.

Nun genügt es also zu zeigen, dass ${}\psi (1)=0$ . Dies folgt aus der Tatsache, dass ${}\psi (1)/n=\psi (1/n)\in \mathbb {Z}$ für alle ${}n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ .

Im allgemeinen Fall, in dem ${}\mathbb {Q}$ durch einen Körper ${}K$ ersetzt wird, wird ${}\psi$ nicht notwendigerweise durch ${}\psi (1)$ bestimmt. Es gilt jedoch immer noch, dass ${}\psi (a)/n=\psi (a/n)\in \mathbb {Z}$ für alle ${}a\in K$ und alle ${}n\in \mathbb {Z}$ mit ${}a/n\in K$ . Damit muss ${}\psi$ wieder die triviale Abbildung sein.

Diskutieren und Fragen

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass es außer der trivialen Abbildung keinen weiteren Gruppenhomomorphismus von ${}(K,+,0)$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ gibt.

Aufgabe

Es bezeichne ${}\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ die (multiplikative) Einheitengruppe von ${}\mathbb {Q}$ . Man gebe einen nichttrivialen Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Q} ^{\times }$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ an.

Kommentar:

Ein Gruppenhomomorphismus

\varphi \colon \mathbb {Q} ^{\times }\longrightarrow \mathbb {Z} ,

ist eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass ${}\varphi (ab)=\varphi (a)+\varphi (b)$ für alle ${}a,b\in \mathbb {Q} ^{\times }$ . Um eine solche Funktion zu konstruieren, sollte man natürlich über die Umkehrung der Potenzfunktionen nachdenken, da die Potenzfunktion ${}\psi (n)=r^{n}$ die Eigenschaft ${}\psi (m+n)=\psi (m)\psi (n)$ erfüllt. Diese Funktionen wurden bereits implizit in Aufgabe 8.33 betrachtet. Die Aufgabe besagt, dass jedes ${}z\in \mathbb {Q} ^{\times }$ eine eindeutige Darstellung der Form

{}z=\pm \prod _{p}p^{\nu _{p}(z)}\,

besitzt, wobei das (endliche) Produkt sich über Primzahlen erstreckt und die Exponenten ${}{\nu _{p}(z)}\in \mathbb {Z}$ sind. Also ist ${}{\nu _{p}(z)}$ für jede Primzahl ${}p$ eine Abbildung von ${}\mathbb {Q} ^{\times }$ nach ${}\mathbb {Z}$ . Jetzt muss man noch überprüfen, dass jedes ${}{\nu _{p}(z)}$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Diskutieren und Fragen

Aufgabe

Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ . Wir betrachten die Restklassengruppe

{}\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,.

Zeige, dass die Abbildung

\psi \colon \mathbb {Z} /(d)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,r\longmapsto r,

kein Gruppenhomomorphismus ist.

Kommentar:

Wir wissen bereits, dass die Addition in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Z} /(d)$ die Addition modulo ${}d$ ist. Also gilt beispielsweise ${}{\bar {1}}+{\overline {d-1}}={\bar {d}}={\bar {0}},\ {\bar {2}}+{\overline {d-1}}={\overline {d+1}}={\bar {1}},$ usw. In ${}\mathbb {Z}$ sind ${}0$ und ${}d$ aber unterschiedlich. Es folgt

\psi ({\bar {1}})+\psi ({\overline {d-1}})=1+d-1=d\neq 0=\psi ({\bar {0}}),

also ${}\psi ({\bar {1}})+\psi ({\overline {d-1}})\neq \psi ({\bar {1}}+{\overline {d-1}})$ . Somit ist ${}\psi$ kein Gruppenhomomorphismus.

Ähnlich wie in Aufgabe 12.8 und Aufgabe 12.9 kann man auch zeigen, dass es außer der trivialen Abbildung keinen weiteren Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Z} /(d)$ nach ${}\mathbb {Z}$ gibt.

Diskutieren und Fragen

Wie in der Vorlesung erwähnt, sind lineare Abbildungen insbesondere Gruppenhomomorphismen. Den Kern kann man wie folgt auch für einen Gruppenhomomorphismus definieren.

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

\varphi \colon G\longrightarrow H

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von ${}\varphi$ , geschrieben

{}\operatorname {kern} \varphi =\varphi ^{-1}(e_{H})={\left\{g\in G\mid \varphi (g)=e_{H}\right\}}\,.

Es gilt auch wieder das Kernkriterium, also die Aussage, dass ein Gruppenhomomorphismus genau dann injektiv ist, wenn der Kern trivial ist, d.h. nur aus ${}0$ besteht.

Aufgabe *

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

\varphi \colon G\longrightarrow H.

Aufgabe

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von ${}\varphi$ eine Untergruppe von ${}H$ ist.

Aufgabe

Stelle in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} {\text{ mod }}\mathbb {Z}$ die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen ${}0$ und ${}1$ dar.

${}{\frac {3}{8}}+{\frac {5}{7}}$ ,
${}-{\frac {6}{5}}$ ,
${}{\frac {6}{7}}\cdot {\frac {3}{2}}$ .

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Hintereinanderausführungen von Teildrehungen (in der Ebene um den Nullpunkt), um welche Gesamtdrehung es sich handelt. Die Gesamtdrehung soll dabei durch eine Drehung um höchstens ${}180$ Grad (höchstens eine Halbdrehung) mit oder gegen den Uhrzeigersinn beschrieben werden.

Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung im Uhrzeigersinn.
Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn.
Eine Volldrehung im Uhrzeigersinn.
Eine Drei-Viertel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn gefolgt von einer Zwei-Drittel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn.
Eine Fünfteldrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Fünf-Achtel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn.

Aufgabe

Begründe, dass die Menge der zu einer Geraden ${}U\subset \mathbb {Q} ^{2}$ parallelen Geraden eine kommutative Gruppe bilden. Addiere zwei solche Geraden miteinander. Illustriere die Wohldefiniertheit an diesem Beispiel.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

\varphi \colon G\longrightarrow H

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Aufgabe

Es sei ${}d$ ein Teiler von ${}n$ . Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

\psi \colon \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(d)

derart gibt, dass das Diagramm

{\begin{matrix}\mathbb {Z} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} /(n)&\\&\searrow &\downarrow &\\&&\mathbb {Z} /(d)&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

kommutiert. Warum lassen sich die Reste modulo ${}2$ und modulo ${}5$ besonders einfach berechnen?

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}F$ kommutative Gruppen und sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe mit der zugehörigen Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf ${}G$ . Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow F$ ein Gruppenhomomorphismus mit ${}H\subseteq \operatorname {kern} \varphi$ . Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}\colon G/\sim \rightarrow F$ mit ${}{\tilde {\varphi }}\circ p=\varphi$ gibt.

Aufgabe

Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 8.4, dass jede Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ ein Ideal ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q}$ eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Aufgabe *

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

\varphi \colon R\longrightarrow S

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Erstelle für ${}n=2,3,\ldots ,10$ Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für die Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(n)$ . Was haben diese Tabellen mit dem Rechnen im ${}n$ -System zu tun?

Aufgabe *

Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?
Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?

Aufgabe

Bestimme den Rest von ${}36!$ modulo ${}31$ .

Aufgabe

Bestimme den Rest von ${}12!$ modulo ${}143$ .

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ${}a^{p}-a$ ein Vielfaches von ${}p$ für jede ganze Zahl ${}a$ ist.

Aufgabe *

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {44}}$ in ${}\mathbb {Z} /(97)$ .

Aufgabe

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {57}}$ in ${}\mathbb {Z} /(139)$ .

Aufgabe *

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass ${}a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo ${}n$ genau dann ist, wenn ${}a$ und ${}n$ teilerfremd sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Zeige, dass die Abbildung

K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0&\ldots &0&0\\0&a&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&a&0\\0&0&\ldots &0&a\end{pmatrix}},

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}.

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${}\varphi$ , welche nicht?

Aufgabe

Löse die lineare Gleichung

{}3x=5\,

für die folgenden Körper ${}K$ :

a) ${}K=\mathbb {Q}$ ,

b) ${}K=\mathbb {R}$ ,

c) ${}K=\{0,1\}$ , der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel 4.12,

d) ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ , der Körper mit sieben Elementen aus Beispiel 12.11.

Aufgabe

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ aus Beispiel 12.11.

{}5x=4\,.

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

{}{\begin{pmatrix}3&4\\2&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}\,

über dem Körper ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ aus Beispiel 12.11.

Aufgabe *

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „ ${}P$ durch ${}T$ “ für die beiden Polynome ${}P=2X^{3}+4X^{2}+5$ und ${}T=3X^{2}+X+1$ durch.

Aufgabe

Führe in ${}\mathbb {Z} /(13)[X]$ die Division mit Rest „ ${}P$ durch ${}T$ “ für die beiden Polynome ${}P=6X^{4}+2X^{3}+4X^{2}+2X+5$ und ${}T=5X^{2}+3X+2$ durch.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass der Betrag

K^{\times }\longrightarrow (K_{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,

ein Gruppenhomomorphismus ist. Was ist der Kern?

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Matrix

{\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}.

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Q} ^{2}$ nach ${}\mathbb {Q} ^{2}$ und ebenso von ${}\mathbb {Z} ^{2}$ nach ${}\mathbb {Z} ^{2}$ definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.