Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 13



Übungsaufgaben

Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen

bei denen das Urbild zu aus genau Elementen besteht, gleich dem Multinomialkoeffizienten

ist.



Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der -Tupel

in denen die Zahl genau -mal vorkommt, gleich

ist.



Im Fressnapf von Vorli liegen heute drei Würste, vier Knochen, sieben Trockenbällchen und zwei Kaustangen. In wie vielen Reihenfolgen kann Vorli das auffressen?



In einem Studium werden Leistungsnachweise verlangt, und zwar Seminarscheine, Klausuren, mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?



Auf wie viele Arten kann man aus dem Wort „Eisenbeis“ Wörter bilden?



Es seien endlich viele natürliche Zahlen fixiert. Zeige, dass die für

definierte Funktion

(die vorderen Blockanzahlen sind also fixiert und werden durch einen einzigen weiteren Block aufgefüllt) ein Polynom in ist. Welchen Grad besitzt es?



Es seien endlich viele natürliche Zahlen fixiert. Zeige, dass die für

definierte Funktion

(die vorderen Blockanzahlen sind also fixiert und werden durch Einserblöcke aufgefüllt) kein Polynom in ist.



Es sei ein kommutativer Halbring und seien Elemente und . Zeige



Es sei ein kommutativer Halbring und . Berechne explizit

  1. ,
  2. ,
  3. .



Zeige

für .



Es sei ein kommutativer Halbring und Elemente mit

Erstelle eine Formel für

die diese Nullteilereigenschaften berücksichtigt.


Die vorstehende Aufgabe wird durch die folgenden Begriffe und die anschließenden Aufgaben weiter vertieft. Ferner sind monomiale Ideale vergleichsweise einfache Ideale mit übersichtlichen Restklassenringen.


Es sei ein kommutativer Ring. Aufbauend auf dem Polynomring in einer Variablen kann man Polynomringe in mehreren Variablen definieren. Man setzt rekursiv

Dies ist äquivalent zur Menge aller Linearkombinationen von Monomen:


Es sei der Polynomring über dem kommutativen Ring und sei

eine Familie von Monomen, . Dann nennt man das von den Monomen erzeugte Ideal ein monomiales Ideal.



Es sei ein Körper und

ein monomiales Ideal. Zeige, dass ein Monom genau dann zu gehört, wenn es ein mit gibt.



Es sei ein Körper und

ein monomiales Ideal. Zeige, dass ein Polynom genau dann zu gehört, wenn sämtliche Monome, die in (mit einem Koeffizienten ) vorkommen, zu gehören.



Es sei ein Körper. Bestimme eine Basis und die Dimension des Restklassenringes

zum monomialen Ideal .



Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen von einer -elementigen Menge in eine zweielementige Menge mit Hilfe von Lemma 13.5, Satz 13.6, Satz 13.7 und direkt.



Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen von einer sechselementigen Menge in eine dreielementige Menge mit Hilfe von Lemma 13.5, Satz 13.6 und Satz 13.7.



Zu bezeichne die Anzahl der surjektiven Abbildungen einer -elementigen Menge in eine -elementige Menge. Zeige, dass die Rekursionsformel

gilt.



Es sei und . Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen von nach mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass jedes Element aus höchstens zweimal getroffen wird.



Es sei und . Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen von nach mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass jedes Element aus höchstens fünfmal getroffen wird.



Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei

eine surjektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

mit

gibt es?



Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei

eine Abbildung. Wie viele Abbildungen

mit

gibt es?




Aufgaben zum Abgeben
Straßenszene von Ouagadougou

Aufgabe (2 Punkte)

Auf wie viele Arten kann man aus dem Wort „Ouagadougou“ Wörter bilden?



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein kommutativer Halbring und seien Elemente mit

Erstelle eine Formel für

die diese Nullteilereigenschaften berücksichtigt.



Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Familie von Monomen

mit gewissen Exponententupeln derart an, dass es keinen Restklassenring und keine Realisierung gibt, bei der genau dann gilt, wenn zu dem von den Monomen erzeugten Ideal in gehört.



Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen von einer siebenelementigen Menge in eine dreielementige Menge mit Hilfe von Lemma 13.5, Satz 13.6 und Satz 13.7.



Aufgabe (5 Punkte)

Es sei und . Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen von nach mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass jedes Element aus höchstens viermal getroffen wird.



Aufgabe (4 Punkte)

Sei fixiert. Bestimme den Grenzwert der Folge



<< | Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)