Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Algebraische Körpererweiterung}
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Algebraisches Element/Äquivalente Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{$f$ ist
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$.
}{Es gibt ein
\definitionsverweis {normiertes Polynom}{}{}
\mathbed {P \in K[X]} {mit}
{P(f) =0} {}
{} {} {} {.}
}{Es besteht eine
\definitionsverweis {lineare Abhängigkeit}{}{}
zwischen den Potenzen
\mathdisp {f^0=1,f^1=f,f^2 , f^3, \ldots} { . }
}{Die von $f$ über $K$ erzeugte $K$-Algebra
\mathl{K[f]}{} hat endliche $K$-Dimension.
}{$f$ liegt in einer
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-Algebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
$(1) \Rightarrow (2)$. Das ist trivial, da man ein von $0$ verschiedenes Polynom stets normieren kann, indem man durch den Leitkoeffizienten dividiert.
$(2) \Rightarrow (3)$. Nach (2) gibt es ein Polynom
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P\neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(f)
}
{ =} { \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } f^{ i}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen.
$(3) \Rightarrow (1)$. Umgekehrt bedeutet die lineare Abhängigkeit, dass es Elemente $c_i$ gibt, die nicht alle $0$ sind mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } f^{ i}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ist aber die Einsetzung $P(f)$ für das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und dieses ist nicht das Nullpolynom.
$(2) \Rightarrow (4)$. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein normiertes Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_n
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann kann man umstellen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^n
}
{ =} { -\sum_{ i = 0 }^{ n-1 } c_{ i } f^{ i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
D.h. $f^n$ kann man durch kleinere Potenzen ausdrücken. Durch Multiplikation dieser Gleichung mit weiteren Potenzen von $f$ ergibt sich, dass man auch die höheren Potenzen durch die Potenzen
\mathbed {f^{i}} {}
{i \leq n-1} {}
{} {} {} {,}
ausdrücken kann.
$(4) \Rightarrow (5)$. Das ist trivial.
$(5) \Rightarrow (3)$. Wenn $f$ in einer endlichdimensionalen Algebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt, so liegen darin auch alle Potenzen von $f$. Da es in einem endlichdimensionalen Vektorraum keine unendliche Folge von linear unabhängigen Elementen geben kann, müssen diese Potenzen linear abhängig sein.
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugt Körper/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mathl{f \in L}{} ein
\definitionsverweis {algebraisches}{}{}
Element.}
\faktfolgerung {Dann ist die von $f$ erzeugte $K$-Algebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[f]
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 22.1
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{K[f]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endlichdimensionale $K$-Algebra. Wir müssen zeigen, dass $M$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist. Es sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedenes Element. Damit ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[g]
}
{ \subseteq }{ M
}
{ = }{ K[f]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass
\mathl{K[g]}{} wieder eine endlichdimensionale Algebra ist. Daher ist, wiederum nach
Satz 22.1,
das Element $g$ algebraisch über $K$ und es gibt ein Polynom
\mathbed {P\in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(g)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir ziehen aus diesem Polynom die höchste Potenz von $X$ heraus und schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{QX^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei der konstante Term von $Q$ von $0$ verschieden sei. Die Ersetzung von $X$ durch $g$ ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {P(g)
}
{ =} {Q(g)g^k
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und sich alles im Körper $L$ abspielt, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(g)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir können durch den konstanten Term von $Q$ dividieren und erhalten die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 + c_1 g + \cdots + c_{ d } g^{ d }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Umstellen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g { \left( - c_1 g^0 - \cdots - c_{ d } g^{ d-1 } \right) }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das heißt, dass das Inverse zu $g$ sich als Polynom in $g$ schreiben lässt und daher zu
\mathl{K[g]}{} und erst recht zu
\mathl{K[f]}{} gehört.
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugter Körper und Ring/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mathl{f \in L}{} ein
\definitionsverweis {algebraisches}{}{}
Element.}
\faktfolgerung {Dann stimmen die von $f$ über $K$
\definitionsverweis {erzeugte Unteralgebra}{}{}
und der von $f$ über $K$
\definitionsverweis {erzeugte Unterkörper}{}{} überein.}
\faktzusatz {Es gilt also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[f]
}
{ = }{ K(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[f]
}
{ \subseteq }{ K(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt immer, und nach Voraussetzung ist der Unterring
\mathl{K[f]}{} aufgrund von
Satz 22.1
schon ein Körper.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ = }{K[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Dann kann man zu
\mathbed {z = F(x)} {}
{z \neq 0} {}
{} {} {} {,}
\zusatzklammer {mit \mathlk{F \in K[X], \,x = \overline{X}}{}} {} {}
auf folgende Art das Inverse $z^{-1}$ bestimmen. Es sind
\mathkor {} {P} {und} {F} {}
teilerfremde Polynome in
\mathl{K[X]}{} und daher gibt es nach
Satz 16.11
und
Satz 17.12
eine Darstellung der $1$, die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ RF+SP
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist die Restklasse von $R$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{R}
}
{ = }{ R(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das Inverse zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\overline{F}
}
{ = }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Algebraischer Abschluss}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Dann nennt man die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ x \in L \mid x \text{ ist algebraisch über } K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {algebraischen Abschluss}{} von $K$ in $L$.
}
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Ist Körper/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei $M$ der
\definitionsverweis {algebraische Abschluss}{}{} von $K$ in $L$.}
\faktfolgerung {Dann ist $M$ ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $L$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir müssen zeigen, dass $M$ bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Wir betrachten die von
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
erzeugte $K$-Unteralgebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{K[x,y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die aus allen $K$-Linearkombinationen der
\mathbed {x^{i}y^{j}} {}
{i, j \in \N} {}
{} {} {} {,}
besteht. Da
\mathkor {sowohl} {x} {als auch} {y} {}
algebraisch sind, kann man
nach Satz 22.1
gewisse Potenzen
\mathkor {} {x^{n}} {und} {y^{m}} {}
durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen
\mathbed {x^{i}y^{j}} {}
{i <n} {}
{j<m} {} {} {,}
ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach
Satz 22.1
wieder algebraisch. Für das Inverse sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
algebraisch. Dann ist
\mathl{K[z]}{} nach
Satz 22.1
ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z^{-1}
}
{ \in }{ K[z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
selbst algebraisch.
\zwischenueberschrift{Algebraische Zahlen}
Die über den rationalen Zahlen $\mathbb Q$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.
\inputdefinition
{}
{
Eine komplexe Zahl $z$ heißt \definitionswort {algebraisch}{} oder \definitionswort {algebraische Zahl}{,} wenn sie \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über den rationalen Zahlen $\mathbb Q$ ist. Andernfalls heißt sie \definitionswort {transzendent}{.}
}
Die Menge der algebraischen Zahlen wird mit ${\mathbb A}$ bezeichnet.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Ferdinand von Lindemann (1852-1939)} }
\bildlizenz { Carl Louis Ferdinand von Lindemann.jpg } {unbekannt} {JdH} {Commons} {PD} {http://www.math.uha.fr/Pi/trans.html}
\inputbemerkung
{}
{
Eine komplexe Zahl
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} ist genau dann algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P$ mit rationalen Koeffizienten und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(z)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden
\zusatzklammer {das allerdings nicht mehr normiert ist} {} {.}
Eine rationale Zahl $q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms
\mathl{X-q}{} ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen
\mathkor {} {\sqrt{q}} {und} {q^{1/n}} {}
für
\mathl{q \in \mathbb Q}{} algebraisch. Dagegen sind die Zahlen $e$ und $\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von $\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.
}
\zwischenueberschrift{Quadratische Körpererweiterungen}
Die aller einfachste Körpererweiterung ist die \stichwort {identische Körpererweiterung} {} $K=K$, die den Grad $1$ besitzt. Die nächst einfachsten sind die vom Grad zwei.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
zwei heißt eine \definitionswort {quadratische Körpererweiterung}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mathbed {x \in L} {,}
{x \notin K} {und}
{x^2 \in K} {} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach Voraussetzung ist $L$ ein zweidimensionaler
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $K$, und darin ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ K1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein eindimensionaler
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Nach
dem Basisergänzungssatz
gibt es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathkor {} {1} {und} {y} {}
eine $K$-Basis von $L$ bilden. Wir können
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2
}
{ =} {a+by
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, bzw.
\zusatzklammer {da $2$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist} {} {,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { y^2-by-a
}
{ =} { { \left( y- { \frac{ b }{ 2 } } \right) }^2-{ \frac{ b^2 }{ 4 } } - a
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Mit
\mathl{x=y- { \frac{ b }{ 2 } }}{} gilt also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^2
}
{ = }{ { \frac{ b^2 }{ 4 } } + a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathkor {} {1} {und} {x} {}
bilden ebenfalls eine $K$-Basis von $L$.
\inputfaktbeweis
{Reelle endliche Körpererweiterung/Ist quadratisch und gleich C/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\R
}
{ \subseteq} {K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
der reellen Zahlen.}
\faktfolgerung {Dann ist $K$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathkor {} {\R} {oder zu} {{\mathbb C}} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Das reelle normierte Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zerfällt über den komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ nach
dem Fundamentalsatz der Algebra
in Linearfaktoren, d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { \prod_j (X- \lambda_j)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_j
}
{ = }{ a_j +b_j i
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $P$ reelle Koeffizienten hat, stimmt es mit seinem komplex-konjugierten überein, d.h. es ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_j (X- \lambda_j)
}
{ =} { P
}
{ =} { \overline{P}
}
{ =} { \prod_j (X- \overline{ \lambda_j} )
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gibt es zu jedem $j$ ein $k$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ \lambda_j }
}
{ =} { \lambda_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
D.h. entweder, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_j
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und dann liegt ein reeller Linearfaktor vor, oder aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \neq }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X- \lambda_j)( X- \overline{\lambda_j})
}
{ =} { (X- a_j-b_j i)( X- a_j +b_j i )
}
{ =} { X^2 -2a_jX +a_j^2+ b_j^2
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
ein reelles Polynom. In der reellen Primfaktorzerlegung von $P$ kommen also nur lineare und quadratische Faktoren vor, und insbesondere haben im Reellen alle irreduziblen Polynome den Grad eins oder zwei.
Es sei nun
\mathl{\R \subseteq L}{} eine endliche Körpererweiterung. Es sei
\mathl{\R \subset L}{} und
\mathbed {x \in L} {}
{x \not\in \R} {}
{} {} {} {.}
Dann ist $x$ algebraisch über $\R$ und
nach Satz 21.12
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R[x]
}
{ \cong }{ \R[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem irreduziblen Polynom $P$
\zusatzklammer {dem
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
zu $x$} {} {.}
Das Polynom $P$ besitzt in ${\mathbb C}$ Nullstellen, so dass es einen
$\R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabb {} {\R[X]/(P)} {{\mathbb C}
} {}
gibt. Da beides reell-zweidimensionale Körper sind, muss eine Isomorphie vorliegen. Wir erhalten also eine endliche Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da ${\mathbb C}$
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{}
ist, muss
nach Aufgabe *****
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C}
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein.
\zwischenueberschrift{Das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein}
\inputfaktbeweis
{Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Integritätsbereich/Prim/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i}
}
{ \in }{ R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom.}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mathl{p\in R}{} ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
mit der Eigenschaft, dass $p$ den
\definitionsverweis {Leitkoeffizienten}{}{}
$c_n$ nicht teilt, alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^2$ nicht den
\definitionsverweis {konstanten Koeffizienten}{}{}
$c_0$ teilt.}
\faktfolgerung {Dann besitzt $F$ keine Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{GH
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit nicht-konstanten Polynomen
\mathl{G,H \in R[X]}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei angenommen, dass es eine Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{GH
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit nicht-kon\-stan\-ten Polynomen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G,H
}
{ \in }{ R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gebe, und sei
\mathkor {} {G=\sum_{ i = 0 }^{ k } a_{ i } X^{ i}} {und} {H=\sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } X^{ j}} {.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_0
}
{ = }{a_0b_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dies ist ein Vielfaches von $p$, aber nicht von $p^2$. Da $p$ prim ist, teilt es einen der Faktoren, sagen wir $a_0$, aber nicht den anderen. Es ist nicht jeder Koeffizient von $G$ ein Vielfaches von $p$, da sonst $G$ und damit auch $F$ ein Vielfaches von $p$ wäre, was aber aufgrund der Bedingung an den Leitkoeffizienten ausgeschlossen ist. Es sei $r$ der kleinste Index derart, dass $a_r$ kein Vielfaches von $p$ ist. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \leq }{\operatorname{grad} \, (G)
}
{ < }{\operatorname{grad} \, (F)
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{,}
da $H$ nicht konstant ist. Wir betrachten den Koeffizienten $c_r$, für den
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_r
}
{ =} {a_0b_r +a_1b_{r-1} + \cdots + a_{r-1}b_1 + a_r b_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Hierbei sind $c_r$ und alle Summanden
\mathbed {a_i b_{r-i}} {}
{i=0 , \ldots , r-1} {}
{} {} {} {,}
Vielfache von $p$. Daher muss auch der letzte Summand
\mathl{a_r b_0}{} ein Vielfaches von $p$ sein. Dies ist aber ein Widerspruch, da
\mathkor {} {p \nmid a_r} {und} {p \nmid b_0} {.}
\inputfaktbeweis
{Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Faktorieller Bereich/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $K=Q(R)$ und sei
\mathl{F =\sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i} \in R[X]}{} ein Polynom.}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mathl{p\in R}{} ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{} mit der Eigenschaft, dass $p$ den
\definitionsverweis {Leitkoeffizienten}{}{} $c_n$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^2$ nicht den
\definitionsverweis {konstanten Koeffizienten}{}{} $c_0$ teilt.}
\faktfolgerung {Dann ist $F$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{} in $K[X]$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 22.12 und Lemma 20.13.
\inputfaktbeweis
{Irreduzible Polynome über Q/Beliebiger Grad/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $n\geq 1$.}
\faktfolgerung {Dann sind die Polynome
\mathl{X^n-p}{} irreduzibel in
\mathl{\Q[X]}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 22.13 angewendet mit der Primzahl $p$.
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterungen von Q/Beliebiger Grad/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Es gibt
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{} von $\Q$ von beliebigem
\definitionsverweis {Grad}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Satz 22.13
sind zu einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ die Polynome
\mathl{X^n-p \in \Q[X]}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
und nach
Satz 17.15
auch
\definitionsverweis {prim}{}{.}
Aufgrund von
Satz 18.5
sind dann die Restklassenringe
\mathl{\Q[X]/(X^n-p)}{}
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Diese haben den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ nach
Proposition 21.3.