Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 27/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Zeige, dass eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.
Es sei eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.
Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.
Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.
Es sei eine
Primzahl
und
.
a) Zeige, dass es in verschiedene -te Einheitswurzeln gibt.
b) Finde für
primitive
-te Einheitswurzeln in .
Es sei ein Körper, und . Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn zwei Lösungen der Gleichung sind und , so ist ihr Quotient eine -te Einheitswurzel.
- Wenn eine Lösung der Gleichung und eine -te Einheitswurzel ist, so ist auch eine Lösung der Gleichung .
Bestimme das sechste Kreisteilungspolynom und beschreibe die Primfaktorzerlegung von .
Bestätige folgende Aussagen.
a) Die dritten Einheitswurzeln in sind
und .
b) Es ist
und
.
c) Es ist
.
d) Es ist .
Es sei . Zeige, dass die Gruppe der -ten Einheitswurzeln in und die Gruppe isomorph sind.
Es seien und . Zeige
Es sei und es sei die Menge der -ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei ein Polynom. Zeige, dass (d.h., dass als Polynom in geschrieben werden kann) genau dann gilt, wenn für jedes die Gleichheit
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ungerade. Zeige, dass der -te Kreisteilungskörper mit dem -ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in .
Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper .
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