Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 4/kontrolle
- Übungsaufgaben
Diskutiere, ob es sich bei
um Terme handelt.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass die Multiplikation auf assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das (konstante) Polynom neutrales Element der Multiplikation ist.
Berechne im Polynomring das Produkt
Beweise die Formel
Es sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Unterring. Zeige, dass ein Unterring von ist.
Es sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaft erfüllt.
- Wenn ein Integritätsbereich ist, so gilt in (2) die Gleichheit.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).
- .
- .
- .
Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
mit , .
In welchen Körpern gilt diese Lösungsformel ebenso?
Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt Euro, ein Meter Hecke kostet Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?
Multipliziere in die beiden Polynome
Multipliziere in die beiden Polynome
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne im Polynomring das Produkt
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise die Formel
für ungerade.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und ein nilpotentes Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in , das eine Einheit ist. Man gebe auch das Inverse dazu an.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Zwei Personen und spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ein Polynom aus, wobei alle Koeffizienten aus sein müssen. Person darf fragen, was der Wert zu gewissen natürlichen Zahlen ist. Dabei darf diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.
Entwickle eine Fragestrategie für , die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen (unabhängig vom Polynom) beschränkt ist.
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