Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 10

Übungsaufgaben

Aufgabe *

In den Klassenarbeiten der Klasse ${}7x$ können die üblichen Noten mit den Zehntelangaben ${}0,3$ oder ${}7$ erzielt werden (also beispielsweise ${}2+=1,7$ , ${}2=2,0$ und ${}2-=2,3$ ). Es werden im Halbjahr zwei Klassenarbeiten geschrieben, ihr Durchschnitt (das arithmetische Mittel) bestimmt über die Endnote, die ganzzahlig ist. Kann es einen Unterschied machen, ob man zuerst die einzelnen Klassenarbeiten rundet und dann den Durchschnitt rundet, oder ob man den Durchschnitt nimmt und dann rundet ( ${},5$ soll auf die größere ganze Note gerundet werden)?

Aufgabe

Beweise Lemma 10.6.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei ${}n\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass das Potenzieren

G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x^{n},

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Zeige, dass die Negation, also die Abbildung

G\longrightarrow G,\,x\longmapsto -x,

ein Gruppenisomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

\varphi \colon G\longrightarrow H

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Aufgabe *

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}h\in R$ . Zeige, dass die Abbildung

R\longrightarrow R,\,f\longmapsto hf,

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.

Aufgabe

a) Für welche reellen Polynome ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ist die zugehörige polynomiale Abbildung

(\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto P(x),

ein Gruppenhomomorphismus?

b) Für welche reellen Polynome ${}Q\in \mathbb {R} [X]$ ist allenfalls ${}0$ eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung

(\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot ),\,x\longmapsto Q(x),

ein Gruppenhomomorphismus?

Aufgabe

Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ . Wir betrachten

{}\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,

mit der in Aufgabe 1.20 beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung

\psi \colon \mathbb {Z} /(d)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,r\longmapsto r,

kein Gruppenhomomorphismus ist.

Wir erinnern an den Begriff einer Matrix.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Unter einer ${}m\times n$ -Matrix (über ${}R$ ) versteht man einen Ausdruck der Form

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},

wobei die Einträge ${}a_{ij}$ aus ${}R$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}

eine Matrix über ${}R$ . Zeige, dass die Matrix einen Gruppenhomomorphismus

R^{n}\longrightarrow R^{m}

definiert, indem man

{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}

anwendet, wobei

{}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}a_{1i}x_{i}\\\sum _{i=1}^{n}a_{2i}x_{i}\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}a_{mi}x_{i}\end{pmatrix}}\,

ist.

Aufgabe

In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle (in geeigneten Maßeinheiten) wiedergegeben:

Sorte	Kalorien	Vitamin C	Fett
Schokokeks	10	5	3
Waffelröllchen	8	7	6
Mandelstern	7	3	1
Nougatring	12	0	5

a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel ${}(x,y,z,w)$ das Aufnahmetupel ${}(K,V,F)$ berechnet.

b) Heinz isst ${}100$ Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.

c) Ludmilla isst ${}10$ Nougatringe und ${}11$ Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.

d) Peter isst ${}5$ Mandelsterne mehr und ${}7$ Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.

Matrizen werden miteinander multipliziert, indem jede Zeile der linken Matrix mit jeder Spalte der rechten Matrix gemäß der Merkregel

{}(ZEILE){\begin{pmatrix}S\\P\\A\\L\\T\end{pmatrix}}=ZS+EP+IA+LL+ET\,

multipliziert wird (insbesondere muss die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen) und das Ergebnis an die entsprechende Stelle gesetzt wird.

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

{\begin{pmatrix}Z&E&I&L&E\\R&E&I&H&E\\H&O&R&I&Z\\O&N&T&A&L\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}S&E&I\\P&V&K\\A&E&A\\L&R&A\\T&T&L\end{pmatrix}}.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

{}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,

die Menge aller invertierbaren ${}2\times 2$ - Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass ${}M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge, und es seien ${}\operatorname {Perm} \,(T)$ und ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ die zugehörigen Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf ${}M$ , siehe Aufgabe 1.5.) Zeige, dass durch

\Psi \colon \operatorname {Perm} \,(T)\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,\varphi \longmapsto {\tilde {\varphi }},

mit

{}{\tilde {\varphi }}(x)={\begin{cases}\varphi (x),\,{\text{falls }}x\in T,\\x{\text{ sonst}},\end{cases}}\,

ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}h\in G$ . Zeige, dass die Abbildung

G\longrightarrow G,\,g\longmapsto hgh^{-1},

eine Gruppenautomorphismus ist.

Die Automorphismen der vorstehenden Aufgabe nennt man auch innere Automorphismen.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element und sei

\varphi \colon G\longrightarrow G,\,h\longmapsto hg,

die Multiplikation mit ${}g$ . Zeige, dass ${}\varphi$ bijektiv ist, und dass ${}\varphi$ genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn ${}g=e_{G}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es seien ${}G_{1},\ldots ,G_{n}$ Gruppen.

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt

G_{1}\times \cdots \times G_{n}.

b) Es sei ${}H$ eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung

\varphi \colon H\longrightarrow G_{1}\times \cdots \times G_{n},\,x\longmapsto \varphi (x)=(\varphi _{1}(x),\ldots ,\varphi _{n}(x)),

genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten ${}\varphi _{i}$ Gruppenhomomorphismen sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ .

Die folgende Aufgabe knüpft an Aufgabe 1.21 an. Zu einer reellen Zahl ${}x$ bezeichnet ${}\lfloor x\rfloor$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ${}x$ ist.