Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 10

Übungsaufgaben

Aufgabe

Beweise Lemma 10.6.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Potenzieren

$G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x^{n},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Zeige, dass die Negation, also die Abbildung

$G\longrightarrow G,\,x\longmapsto -x,$

ein Gruppenisomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Aufgabe *

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}h\in R$. Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto hf,$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.

Aufgabe

a) Für welche reellen Polynome ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ist die zugehörige polynomiale Abbildung

$(\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto P(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

b) Für welche reellen Polynome ${}Q\in \mathbb {R} [X]$ ist allenfalls ${}0$ eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung

$(\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot ),\,x\longmapsto Q(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

Aufgabe

Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Wir betrachten

${}\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,$

mit der in Aufgabe 1.19 beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung

$\psi \colon \mathbb {Z} /(d)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,r\longmapsto r,$

kein Gruppenhomomorphismus ist.

Wir erinnern an den Begriff einer Matrix.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Unter einer ${}m\times n$-Matrix (über ${}R$) versteht man einen Ausdruck der Form

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$

wobei die Einträge ${}a_{ij}$ aus ${}R$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

eine Matrix über ${}R$. Zeige, dass die Matrix einen Gruppenhomomorphismus

$R^{n}\longrightarrow R^{m}$

definiert, indem man

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

anwendet, wobei

${}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}a_{1i}x_{i}\\\sum _{i=1}^{n}a_{2i}x_{i}\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}a_{mi}x_{i}\end{pmatrix}}\,$

ist.

Aufgabe

In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle (in geeigneten Maßeinheiten) wiedergegeben:

Sorte	Kalorien	Vitamin C	Fett
Schokokeks	10	5	3
Waffelröllchen	8	7	6
Mandelstern	7	3	1
Nougatring	12	0	5

a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel ${}(x,y,z,w)$ das Aufnahmetupel ${}(K,V,F)$ berechnet.

b) Heinz isst ${}100$ Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.

c) Ludmilla isst ${}10$ Nougatringe und ${}11$ Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.

d) Peter isst ${}5$ Mandelsterne mehr und ${}7$ Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.

Matrizen werden miteinander multipliziert, indem jede Zeile der linken Matrix mit jeder Spalte der rechten Matrix gemäß der Merkregel

${}(ZEILE){\begin{pmatrix}S\\P\\A\\L\\T\end{pmatrix}}=ZS+EP+IA+LL+ET\,$

multipliziert wird (insbesondere muss die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen) und das Ergebnis an die entsprechende Stelle gesetzt wird.

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}Z&E&I&L&E\\R&E&I&H&E\\H&O&R&I&Z\\O&N&T&A&L\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}S&E&I\\P&V&K\\A&E&A\\L&R&A\\T&T&L\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,$

die Menge aller invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass ${}M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

$M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge, und es seien ${}\operatorname {Perm} \,(T)$ und ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ die zugehörigen Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf ${}M$, siehe Aufgabe 1.5.) Zeige, dass durch

$\Psi \colon \operatorname {Perm} \,(T)\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,\varphi \longmapsto {\tilde {\varphi }},$

mit

${}{\tilde {\varphi }}(x)={\begin{cases}\varphi (x),\,{\text{falls }}x\in T,\\x{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}h\in G$. Zeige, dass die Abbildung

$G\longrightarrow G,\,g\longmapsto hgh^{-1},$

eine Gruppenautomorphismus ist.

Die Automorphismen der vorstehenden Aufgabe nennt man auch innere Automorphismen.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow G,\,h\longmapsto hg,$

die Multiplikation mit ${}g$. Zeige, dass ${}\varphi$ bijektiv ist, und dass ${}\varphi$ genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn ${}g=e_{G}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es seien ${}G_{1},\ldots ,G_{n}$ Gruppen.

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt

$G_{1}\times \cdots \times G_{n}.$

b) Es sei ${}H$ eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung

$\varphi \colon H\longrightarrow G_{1}\times \cdots \times G_{n},\,x\longmapsto \varphi (x)=(\varphi _{1}(x),\ldots ,\varphi _{n}(x)),$

genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten ${}\varphi _{i}$ Gruppenhomomorphismen sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$.

Die folgende Aufgabe knüpft an Aufgabe 1.20 an. Zu einer reellen Zahl ${}x$ bezeichnet ${}\lfloor x\rfloor$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ${}x$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten

${}M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,$

mit der in Aufgabe 1.17 definierten Verknüpfung, die nach Aufgabe 1.20 eine Gruppe ist. Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow M,\,q\longmapsto q-\lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ den Kern des Potenzierens

$\mathbb {R} ^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} ^{\times },\,z\longmapsto z^{n}.$

Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow G$

in eine Gruppe ${}G$ mit der Eigenschaft gibt, dass ${}r\in \mathbb {R}$ genau dann irrational ist, wenn ${}\varphi (r)=0$ ist.