Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 13/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Bild unter einem Ringhomomorphismus ein Unterring ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Umkehrabbildung eines Ringisomorphismus wieder ein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe Aufgabe 13.3 ändern

Es seien ${}R,S,T$ Ringe. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Die Identität ${}\operatorname {Id} _{R}\colon R\rightarrow R$ ist ein Ringhomomorphismus.
2. Sind ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}\psi \circ \varphi \colon R\rightarrow T$ ein Ringhomomorphismus.
3. Ist ${}R\subseteq S$ ein Unterring, so ist die Inklusion ${}R\hookrightarrow S$ ein Ringhomomorphismus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich der Charakteristik ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Ordnung von jedem Element ${}x\in R$, ${}x\neq 0$, ebenfalls ${}n$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow R$ der kanonische Homomorphismus. Zeige, dass die Charakteristik von ${}R$ der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kernideals ${}\operatorname {kern} \varphi \subseteq \mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}0$ der Nullring. Bestimme die Ringhomomorphismen von ${}R$ nach ${}0$ und die Ringhomomorphismen von ${}0$ nach ${}R$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die komplexe Konjugation ein Körperautomorphismus ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von ${}\mathbb {Q}$ nach ${}\mathbb {Z}$ gibt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {Q}$ gibt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von ${}{\mathbb {C} }$ nach ${}\mathbb {R}$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Körperautomorphismen von ${}\mathbb {R}$.

Tipp: Zeige zuerst, dass ein Körperautomorphismus von ${}\mathbb {R}$ auch die Ordnungsstruktur erhält.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Ring und seien ${}L$ und ${}M$ zwei Mengen mit den in Aufgabe 2.9 konstruierten Ringen ${}A=\operatorname {Abb} \,{\left(L,R\right)}$ und ${}B=\operatorname {Abb} \,{\left(M,R\right)}$. Zeige, dass eine Abbildung ${}L\rightarrow M$ einen Ringhomomorphismus

$B\longrightarrow A$

induziert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Setze in das Polynom ${}2X^{4}+X^{3}-3X^{2}+X+5$ die Zahl ${}{\sqrt {2}}$ ein.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Berechne das Bild des Polynoms ${}X^{3}+4X-3$ unter dem durch ${}X\mapsto X^{2}+X-1$ definierten Einsetzungshomomorphismus ${}K[X]\rightarrow K[X]$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$ ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus

$K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto a.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch ${}X\mapsto P$ definierte Einsetzungshomomorphismus von ${}K[X]$ nach ${}K[X]$ injektiv ist und dass der durch ${}P$ erzeugte Unterring ${}K[P]\subseteq K[X]$ isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}L$ ein Körper und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

$L[X]\longrightarrow L[X],\,\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\longmapsto \sum _{i=0}^{n}\varphi (a_{i})X^{i},$

ein Ringautomorphismus des Polynomrings ${}L[X]$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ ein Ring mit ${}0\neq 1$ und

$\varphi \colon K\longrightarrow R$

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring der Charakteristik ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Ordnung von jedem Element ${}x\in R$, ${}x\neq 0$, ein Teiler von ${}n$ ist.

Der Körper ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ besteht aus allen reeelen Zahlen der Form ${}a+b{\sqrt {5}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {Q}$, siehe auch Aufgabe 3.22.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass durch

$\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\longrightarrow \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],\,a+b{\sqrt {5}}\longmapsto a-b{\sqrt {5}},$

(${}a,b\in \mathbb {Q}$) ein Körperautomorphismus gegeben ist, der nicht die Identität ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Berechne das Bild des Polynoms ${}X^{4}-2X^{2}+5X-2$ unter dem durch ${}X\mapsto 2X^{3}+X-1$ definierten Einsetzungshomomorphismus ${}K[X]\rightarrow K[X]$.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass ein Polynom ${}P\in K[X]$ genau dann irreduzibel ist, wenn das um ${}a\in K$ „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in ${}P$ die Variable ${}X$ durch ${}X-a$ ersetzt) irreduzibel ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige, dass

${}{\binom {p}{k}}\equiv 0\mod p\,$

für alle ${}k=1,\ldots ,p-1$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte (dabei ist ${}p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.