Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 17



Übungsaufgaben

Es sei ein Integritätsbereich und ein Körper mit . Zeige, dass dann auch gilt.



Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Kern eines Ringhomomorphismus in einen Körper ist.



Berechne in die folgenden Ausdrücke.

  1. Das Produkt
  2. Die Summe
  3. Das Inverse von



Zeige die Gleichheit

als Funktion von nach .



Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen



Erstelle eine Wertetabelle für die rationale Funktion .



Es sei

die von und erzeugte Untergruppe. Zeige, dass auch von einem Element erzeugt wird. Von welchem?



Es seien und sei

die von und erzeugte Untergruppe. Zeige, dass von erzeugt wird.



Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.



Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Es sei eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass zyklisch ist.



Es sei eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

ein Unterring von ist. Was ergibt sich bei , , , ?



Es sei die Menge der Primzahlen und

eine Abbildung. Zeige, dass die Menge

eine Untergruppe von ist.



Es sei eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik an, der unendlich viele Elemente besitzt.


Die folgende Definition wird in den nächsten Aufgaben verwendet.


Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

  1. Aus folgt für beliebige ,
  2. Aus und folgt für beliebige ,

erfüllt.


Die ganzen Zahlen bilden einen angeordneten Ring. Die Anordnung überträgt sich auf den Quotientenkörper, die rationalen Zahlen bilden also einen angeordneten Körper.


Zeige, dass mit der durch (bei ), falls in gilt, definierten Beziehung ein angeordneter Körper ist (dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf verwendet werden).



Man gebe fünf rationale Zahlen an, die (echt) zwischen und liegen.



Person wird Jahre alt und Person wird Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

  1. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.
  2. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.



Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?



Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.

Wer fährt schneller?



Man gebe die Antworten als Bruch (bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß): Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für die Untergruppe , die durch die rationalen Zahlen

erzeugt wird.



Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und sei

die von und erzeugte Untergruppe. Zeige, dass von erzeugt wird.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass jedes Element , , eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

mit einer Einheit und ganzzahligen Exponenten besitzt.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Es sei ein Element mit für eine natürliche Zahl . Zeige, dass dann schon zu gehört.

Was bedeutet dies für ?


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen und nicht isomorph sind.




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