Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 4 3 4 3 3 7 3 4 5 2 5 9 2 64




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Stammfunktion einer Abbildung auf einer offenen Menge .
  2. Eine offene Abbildung

    zwischen topologischen Räumen.

  3. Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

    auf einer Teilmenge .

  4. Eine analytische Funktion auf einer offenen Teilmenge .
  5. Der Hauptteil zu einer Laurent-Reihe .
  6. Eine elliptische Funktion zu einem Gitter .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
  2. Das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.
  3. Der Satz über die Homotopieinvarianz von Wegintegralen.



Aufgabe (4 Punkte)

Schildern Sie wesentliche Unterschiede zwischen der reellen Analysis und der komplexen Analysis in einer Variablen (Funktionentheorie).



Aufgabe (4 Punkte)

Charakterisiere diejenigen komplex differenzierbaren Abbildungen

mit der Eigenschaft, dass

für alle gilt.



Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die holomorphe Ableitung die Quotientenregel

auf dem nullstellenfreien Ort zu erfüllt.



Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion

im Entwicklungspunkt .



Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine formale Potenzreihe mit . Berechne und in der Rekursion mit .



Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und offene Teilmengen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

gilt, wobei das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.



Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .



Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz von Liouville.



Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den lokalen Exponenten von

in jedem Punkt .



Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt der meromorphen Funktion .



Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei . Zeige, dass es Punkte derart gibt, dass es auf

eine von der Identität verschiedene biholomorphe Abbildung gibt.



Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine offene Menge mit und sei eine holomorphe Funktion mit

Zeige, dass

(mit einer Konstanten ) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von gilt.



Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise den riemannschen Abbildungssatz.



Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Gitter. Zeige direkt, dass

ein Unterring von ist.