Kurs:Funktionentheorie/1/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 | 4 | 3 | 3 | 7 | 3 | 4 | 5 | 2 | 5 | 9 | 2 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Stammfunktion einer Abbildung auf einer offenen Menge .
- Eine
offene Abbildung
zwischen topologischen Räumen.
- Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge
auf einer Teilmenge .
- Eine analytische Funktion auf einer offenen Teilmenge .
- Der Hauptteil zu einer Laurent-Reihe .
- Eine elliptische Funktion zu einem Gitter .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
- Das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.
- Der Satz über die Homotopieinvarianz von Wegintegralen.
Aufgabe (4 Punkte)
Schildern Sie wesentliche Unterschiede zwischen der reellen Analysis und der komplexen Analysis in einer Variablen (Funktionentheorie).
Aufgabe (4 Punkte)
Charakterisiere diejenigen komplex differenzierbaren Abbildungen
mit der Eigenschaft, dass
für alle gilt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die holomorphe Ableitung die Quotientenregel
auf dem nullstellenfreien Ort zu erfüllt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion
im Entwicklungspunkt .
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei
eine formale Potenzreihe mit . Berechne und in der Rekursion mit .
Aufgabe * (3 Punkte)
Es seien und offene Teilmengen und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass
gilt, wobei das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.
Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)
Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen
und
und die Differentialform
auf dem .
a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .
b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .
c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .
Aufgabe * (3 Punkte)
Beweise den Satz von Liouville.
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt der meromorphen Funktion .
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei . Zeige, dass es Punkte derart gibt, dass es auf
eine von der Identität verschiedene biholomorphe Abbildung gibt.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei eine offene Menge mit und sei eine holomorphe Funktion mit
Zeige, dass
(mit einer Konstanten ) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von gilt.
Aufgabe * (9 Punkte)
Beweise den riemannschen Abbildungssatz.